"Eindeutige" Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Do 21.02.2008 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Wollte mal fragen, warum die Stammfunktion einer Regelfunktion eindeutig ist, indem Sinne, dass zwar eine beliebige Konstante addiert werden kann, aber die Form sonst so bleibt wie sie ist.
So ist zum Beispiel eine Menge von Stammfunktion zu f(x) = [mm] x^{2}: [/mm] F(x) = [mm] 1/3x^{3} [/mm] + c, c [mm] \in \IR.
[/mm]
Dass dies Stammfunktionen sind, kann man ja sehr schnell durch Ableiten sehen aber wieso sind alle Stammfunktionen von f(x) von dieser Form?
Ich meine, es könnte ja auch sein dass es noch eine andere Funktion mit Ableitung [mm] x^2 [/mm] gibt. (Dass das nicht der Fall ist, ist mir klar, ich frage mich aber wieso!)
Ich finde aus dem Hauptsatz der Analysis wird das nicht klar, aber alle Bücher tuen so. Habe überlegt, ob es was mit Picard-Lindelöff zu tun haben könnte, komme da aber zu keinem Ergebnis.
Wäre schön, wenn jemand eine Begründung hätte.
Viele Grüße,
Blueman
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 21.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
diese anderen Funktionen , die die Ableitung [mm] x^2 [/mm] haben, hätten dann aber (nach Hauptsatz) an jeder Stelle dieselbe Steigung wie [mm] x^2. [/mm] nur die Werte können - wie du ja sagst sich alle um ne Konstante unterscheiden.
Dieser neuen Funktion -die es theoretisch dann gäbe- könntest du nen namen geben , die Blueman-fkt bl(x) wenn du sie jetzt erstellen willst, kannst du den GW von Riemannsummen nehmen, oder nach Hauptsatz ihre Steigung in jedem Punkt angeben. und dann hätte bl(x) alle Eigenschaften von [mm] x^2! [/mm] Aber natürlich nen schönen neuen Namen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
naja, sofern die Funktion auf einer zusammenhängenden Menge definiert ist, macht das keine Probleme. Vermutlich geht es Dir aber eh "nur" um Funktionen, die auf [mm] $\IR$ [/mm] bzw. auf einem Intervall [mm] $\subset \IR$ [/mm] definiert sind.
Und Stammfunktionen von $f: [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto f(x):=x^2$, [/mm] wenn man diese z.B. auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert betrachtet, sind eindeutig bis auf die Konstante und haben hier also die Form $x [mm] \mapsto \frac{1}{3}x^3+c$, [/mm] denn:
1.) Es existiert hier mindestens eine Stammfunktion dieser Bauart, da mit $F: [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto F(x):=\frac{1}{3}x^3$ [/mm] eben für $F$ gilt, dass $F'=f$.
2.) Nun gehen wir hin und nehmen an, wir haben eine weitere Stammfunktion $G$ zu $f$ gefunden, so dass also $G'=f$ gilt.
Dann folgt aber für jedes $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
$(G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$
Nach einem Satz aus der Analysis folgt dann, dass $G(x)-F(x) [mm] \equiv [/mm] c$ mit einer Konstanten $c [mm] \in \IR$.
[/mm]
Wie gesagt, das wäre z.B. eine einfache Begründung für Funktionen [mm] $\IR \to \IR$. [/mm] Also das obige $f$ (mit [mm] $f(x)=x^2$) [/mm] ist zum Beispiel stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] die Funktion $F$ (mit [mm] $F(x)=\frac{1}{3}x^3$) [/mm] ist eine Stammfunktion und mit der obigen Argumentation erhält man hier sehr schnell, dass eine jede andere Stammfunktion $G$ von $f$ sich nur um eine Konstante von $F$ unterscheiden kann.
P.S.:
Mein Argument findest Du übrigens auch hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
im Beweis zu Satz 17.13 3.
(Wobei dort der Fall [mm] $\IK=\IC$ [/mm] für Satz 13.17 im Skript nicht mitbehandelt wurde, sondern als Ü gestellt wurde.)
Und ich denke generell, dass es manchmal hilfreich ist, wenn einem eine solche Begründung nicht selbst klar ist oder diese nicht in dem Satz mit formuliert ist, dann doch nochmal in den Beweis reinzugucken, ob sich die Frage damit dann nicht beantworten läßt. Ich gebe aber zu, dass man hier die "Eigenschaft der Stammfunktionen" in obigem Skriptum durchaus auch explizit in Satz 17.13 hätte mitformulieren können, anstatt es so ein wenig zu "verstecken" 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
