www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Eindeutigkeit ?!
Eindeutigkeit ?! < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eindeutigkeit ?!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:08 Sa 05.04.2008
Autor: straussy

Aufgabe
Bestimmen sie die Teilbereiche der [mm](x,y)[/mm]-Ebene, in denen die Gleichung [mm]u_{xx}+2xu_{xy}+yu_{yy}+2u_y=0[/mm] elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist.  

Hi,

ich bin der Meinung, dass die Aufgabe nicht eindeutig zu lösen ist. Eigentlich müsste doch [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u)+\frac{\partial}{\partial y}(2x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}u=0[/mm] die Gleichung beschreiben und da [mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}u=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}u[/mm] (oder nicht?) müsste die folgende Gleichung äquivalent sein: [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u+x\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}(x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)=0[/mm] .

In den beiden Fällen unterscheidet sich die Matix im linearen Operator, so dass ich auf völlig unterschiedliche Eigenwerte komme. Wo liegt mein Fehler.

vielen Dank im Voraus. Tobias

        
Bezug
Eindeutigkeit ?!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Sa 05.04.2008
Autor: MathePower

Hallo straussy,

> Bestimmen sie die Teilbereiche der [mm][mm](x,y)[/mm]-Ebene,[/mm] in denen die Gleichung [mm]u_{xx}+2xu_{xy}+yu_{yy}+2u_y=0[/mm]elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist.
> Hi,
>
> ich bin der Meinung, dass die Aufgabe nicht eindeutig zu lösen ist. Eigentlich müsste doch [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u)+\frac{\partial}{\partial y}(2x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}u=0[/mm] die Gleichung beschreiben und da [mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}u=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}u[/mm] (oder nicht?) müsste die folgende Gleichung äquivalent sein: [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u+x\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}(x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)=0[/mm] .
>
> In den beiden Fällen unterscheidet sich die Matix im linearen Operator, so dass ich auf völlig unterschiedliche Eigenwerte komme. Wo liegt mein Fehler.

Zerlege die PDE so:

[mm]u_{xx}+2*x*u_{xy}+y*u_{yy}+2*u_{y}=\left(u_{xx}+x*u_{xy}+u_{y}\right)+\left(x*u_{xy}+y*u_{yy}+u_{y}\right)[/mm]

Nun gilt:

[mm]u_{xx}+\underbrace{x*u_{xy}+u_{y}}_{\bruch{\partial} {\partial x}x*u_{y}}=\bruch{\partial}{\partial x}u_{x}+\bruch{\partial} {\partial x}\left(x*u_{y}\right)=\bruch{\partial}{\partial x}\left(u_{x}+x*u_{y}\right)[/mm]

[mm]x*u_{xy}+\underbrace{y*u_{yy}+u_{y}}_{\bruch{\partial} {\partial y}y*u_{y}}=\bruch{\partial}{\partial y}\left(x*u_{x}\right)+\bruch{\partial} {\partial y}\left(y*u_{y}\right)=\bruch{\partial}{\partial y}\left(x*u_{x}+y*u_{y}\right)[/mm]

[mm]\Rightarrow u_{xx}+2*x*u_{xy}+y*u_{yy}+2*u_{y}=0 \gdw \bruch{\partial}{\partial x}\left(u_{x}+x*u_{y}\right)+\bruch{\partial}{\partial y}\left(x*u_{x}+y*u_{y}\right)=0[/mm]

>

> vielen Dank im Voraus. Tobias

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit ?!: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:34 So 06.04.2008
Autor: straussy

Hi,

danke erstmal für die Antwort. Die Gleichung die du hergeleitet hast, entspricht ja meiner zweiten Gleichung, oder nicht? Aber funktioniert nicht auch die erste Gl.?

Unser allgemeiner linerarer Operator hat die Form [mm]\mathcal L u=-\left(\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}a_{i,j}\frac{\partial}{\partial x_j}u\right)+\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}b_{i}u+c[/mm]. Durch den Vektor [mm]b[/mm] erreicht man doch eine Nichteindutigkeit, oder nicht?

viele Grüße, Tobias

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit ?!: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 08.04.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]