Eindeutigkeit Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es genau eine ganze Funktion f mit
[mm] f(log(1+\bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{n^2} [/mm] - 1)(1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) für alle n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}
gibt, und geben Sie f a. |
Also für die Funktion f habe ich
f(z) = [mm] (e^z [/mm] - 2) [mm] e^{2*z} [/mm] mit z [mm] \in \IC
[/mm]
erhalten.
Aber wie zeige ich nun, dass die Funktion eindeutig ist?
In der Vorlesung haben wir etwas zu Potenzreihen gemacht.
Ist eine Funktion eindeutig, wenn sie als Potenzreihe darstellbar ist?
Aber dann hätte ich das Problem, wie ich obere Funktion als Potenzreihe darstelle ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 20.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Stern123
Eine ganze Funktion hat immer eine Potezreihe mit Konvergenzradius [mm] $\infty$.
[/mm]
Betrachte einmal die Menge [mm] $\{\log(1+\frac 1n)|n\in\\Z^+\}$. [/mm] Diese Menge hat einen Hauefungspunkt (Wo?).
Zwei ganze Funktionen, die auf einer Menge uebereinstimmen, die einen Hauefungspunkt haben, stimmen uebereine, das sollte bekannt sein.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Also die Menge hat meiner Meinung nach den Häufungspunkt 0. Richtig?!
Der Satz, dass zwei ganze Funktionen, die auf einer Menge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt haben, übereinstimmen, ist mir bekannt.
Aber kann ich damit nicht eher zeigen, dass eine Funktion nicht eindeutig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Sa 20.06.2009 | | Autor: | moudi |
Ja, der Haeufungspunkt ist 0. Damit ist es doch gezeigt, es kann nur eine ganze Funktion mit den vorgegebenen Werten auf einer Menge mit Haeufungspunkt 0 geben. Wenn deine Funktion die Bedingung erfuellt, ist die Sache gegessen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Okay, das ist ja gar nicht so schwer (wenn man mal weiß wie's geht!).
Danke! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 21.06.2009 | | Autor: | ozan |
Hallo
Also habe ein paar fragen zu dieser Aufgabe.
Wie kann ich die Lösung formulieren.
Der Häufungspunkt ist bei 0. Und wenn ich den Wert in die beide Funktionen einsetze kommt -1 raus.
Reicht es aus wenn ich den Satz "Zwei ganze Funktionen, die auf einer Menge uebereinstimmen, die einen Hauefungspunkt haben, stimmen uebereine, das sollte bekannt sein." hinschreibe und zeige dass der Häufungspunkt 0 ist und wenn ich die 0 einsetze kommt -1 raus.
Mit freundlichen Grüssen
Ozan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 So 21.06.2009 | | Autor: | moudi |
Wenn dieser Satz in der Vorlesung behandelt wurde, darf man ihn natuerlich zitieren, wenn nicht, dann muesste man sich vielleicht etwas anderes ueberlegen. Im ersten Fall ist die Argumentation hinreichend. Es ist uebrigens wichtig, dass der Haeufungspunkt im innern des Definitionsbereichs liegt.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 So 21.06.2009 | | Autor: | ozan |
danke moudi
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