Eindeutigkeit von Fließkommaza < Algor.+Datenstr. < Theoretische Inform. < Hochschule < Informatik < Vorhilfe
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| Aufgabe | Liegt [mm]x \in \IR \ \left\{ 0 \right\}[/mm] in der Darstellung [mm]x = m \cdot b^e[/mm] mit [mm]b \in \IN \ \left\{ 0, 1 \right\}, b^{-1} \le |m| \le 1[/mm] und [mm]e \in \IZ[/mm] vor, so spricht man von der normalisierten Fließkommadarstellung von x zur Basis b. Dabei wird m als Mantisse und e als Exponent bezeichnet.
Beweisen Sie folgende Aussagen für zwei positive Zahlen [mm]x1 = m1 \cdot b^{e_1}, x_2 = m_2 \cdot b^{e_2} \in R_{>0}[/mm] in normalisierter Fließkommadarstellung:
(a)[mm] x_1 = x_2 <=> [ e_1 = e_2[/mm] und [mm]m_1 = m_2 ][/mm] (Eindeutigkeit der Darstellung)
(b)[mm] x_1 < x_2 <=> [ e_1 < e_2[/mm] oder [mm](e_1 = e_2 und m_1 < m_2) ][/mm] |
Ich sitze seit gefühlten 2 Stunden vor dieser Aufgabe und habe mir einmal als Beispiel die Darstellung der Zahl 2 vorgenommen.
[mm]2 = 0,5 \cdot 2^3[/mm]
Diese Darstellung ist soweit korrekt.
Was zu zeigen wäre ist soweit ich die Aufgabe verstanden habe, dass dies die EINZIGE gültige Darstellung ist. Möglich wäre nämlich auch noch
[mm]2 = 0,25 \cdot 2^3[/mm] oder jede andere Darstellung, bei der man die Mantisse durch 2 teilt und den Exponenten inkrementiert.
Leider habe ich keine Ahnung WIE ich das beweisen soll. Es ist natürlich logisch, wenn man das Muster erkannt hat, wie sich die Mantisse und der Exponent verändern obwohl sie die selbe Zahl darstellen, nur ich habe so meine Probleme, das in eine mathematische Formel zu stecken.
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen dank schon mal.
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 27.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Liegt [mm]x \in \IR \ \left\{ 0 \right\}[/mm] in der Darstellung [mm]x = m \cdot b^e[/mm]
> mit [mm]b \in \IN \ \left\{ 0, 1 \right\}, b^{-1} \le |m| \le 1[/mm]
Bist du sicher, dass es so dort stand? In dem Fall ist die Aufgabe naemlich falsch. Es muss entweder [mm] $b^{-1} \le [/mm] |m| < 1$ oder [mm] $b^{-1} [/mm] < |m| [mm] \le [/mm] 1$ heissen.
(Damit das weiter unten Sinn macht, sollte da [mm] $b^{-1} \le [/mm] |m| < 1$ stehen.)
> und [mm]e \in \IZ[/mm] vor, so spricht man von der normalisierten
> Fließkommadarstellung von x zur Basis b. Dabei wird m als
> Mantisse und e als Exponent bezeichnet.
> Beweisen Sie folgende Aussagen für zwei positive Zahlen
> [mm]x1 = m1 \cdot b^{e_1}, x_2 = m_2 \cdot b^{e_2} \in R_{>0}[/mm]
> in normalisierter Fließkommadarstellung:
> (a)[mm] x_1 = x_2 <=> [ e_1 = e_2[/mm] und [mm]m_1 = m_2 ][/mm]
> (Eindeutigkeit der Darstellung)
> (b)[mm] x_1 < x_2 <=> [ e_1 < e_2[/mm] oder [mm](e_1 = e_2 und m_1 < m_2) ][/mm]
>
> Ich sitze seit gefühlten 2 Stunden vor dieser Aufgabe und
> habe mir einmal als Beispiel die Darstellung der Zahl 2
> vorgenommen.
> [mm]2 = 0,5 \cdot 2^3[/mm]
> Diese Darstellung ist soweit korrekt.
Sicher nicht. [mm] $2^3 [/mm] = 8$ und $0.5 [mm] \cdot [/mm] 8 = 4$. Das ist nicht 2.
Oder meinst du $0.5 [mm] \cdot 2^2$?
[/mm]
> Was zu zeigen wäre ist soweit ich die Aufgabe verstanden
> habe, dass dies die EINZIGE gültige Darstellung ist.
Genau.
> Möglich wäre nämlich auch noch
> [mm]2 = 0,25 \cdot 2^3[/mm] oder jede andere Darstellung, bei der
Ich nehme an, du meinst oben $0.5 [mm] \cdot 2^2$; [/mm] in dem Fall stellen beide Zahlen 2 da.
> man die Mantisse durch 2 teilt und den Exponenten
> inkrementiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Leider habe ich keine Ahnung WIE ich das beweisen soll. Es
Nun. Sei [mm] $m_1 \cdot 2^{e_1} [/mm] = [mm] m_2 \cdot 2^{e_2}$. [/mm] Dann gilt [mm] $m_1/m_2 [/mm] = [mm] 2^{e_2 - e_1}$. [/mm] Jetzt schaetze [mm] $m_1/m_2$ [/mm] einmal nach oben und einmal nach unten ab. Ueberlege dir, welche Werte [mm] $2^{e_2 - e_1}$ [/mm] annehmen kann. Dann sollte genau eine Moeglichkeit fuer [mm] $m_1/m_2$ [/mm] und [mm] $e_2 [/mm] - [mm] e_1$ [/mm] uebrigbleiben.
LG Felix
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