Einf. Differenzenquotient < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | | Bestimme näherungsweise das Maximum der Funktion [mm]f(x)=-\bruch{1}{6}x^3+x [/mm] mit Hilfe des Differenzenquotienten [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}. [/mm] |
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.)
Hallo liebe Mathefreunde
eine Nachhilfeschülerin (Kl. 10) kam mit dieser Aufgabe an.
Kann ich ihr denn jetzt schon das wie folgt erklären, ...
[mm] f(x)=-\bruch{1}{6}x^3+x [/mm]
also mit [mm] m=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} =\bruch{ [-\bruch{1}{6}(x_{0}+h)^3+(x_{0}+h)]-[-\bruch{1}{6}x^3+x_{0}]}{h}[/mm]
Nach dem Ausmultiplizieren, dem Zusammenfassen und Kürzen mit h erhält man:
[mm] m=\bruch{1}{2}x_{0}^2+1-\bruch{1}{2}x_{0}h-\bruch{1}6{}h^2[/mm]
wenn man nun h=0 wählt erhält man [mm] m=-\bruch{1}{2}x_{0}^2+1 [/mm] und mit m=0 folgt dann [mm] x_{0}=\wurzel(2) [/mm]
oder greife ich damit vor, da ich hiermit schon den Ableitungsbegriff quasi einführe?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn der Lehrer a und b nimmt, solltest du nicht durch [mm] x_0+h [/mm] und [mm] x_0 [/mm] ersetzen. sondern wirklich mit a und b rechnen.
dann kommt Polynomdivision von [mm] b^3 -a^3 [/mm] vor, und man kann verschiedene a,b einsetzen.
da steht ja auch näherungsweise. sieh außerdem nach, was sie in der stunde davor gemacht haben, wahrscheinlich was ähnliches mit ner anderen fkt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Olli1968 |
Danke, leduart, für die schnelle Antwort ...
Ich hatte mir ja schon angesehen, was sie vorher im Unterricht gemacht haben bzw. in ihrem Mathebuch geschaut - aber nicht wirklich etwas hilfreiches gefunden. Da das Thema recht neu ist (2. oder 3. Stunde), hatten sie bisher nur die Steigung in einem beliebigen Punkt der Kurve 'berechnet', indem sie eine Tangente in diesem Punkt gezeichnet haben und dann die Steigung der Geraden mit Hilfe zweier Punkte a, b und dem Differenzenquotienten bestimmt haben (a,f(a) und b,f(b) aus dem Koordinatensystem ablesen und dann (näherungsweise) die Steigung bestimmen).
Nur geht das mit dem Maximum so nicht, da ja dann f(a)=f(b) raus kommt, was zwar stimmt, aber einem nicht wirklich weiter hilft.
[mm] 0=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
Man könnte ja auch die "Ableitung" mit a und b machen und a->b laufen lassen oder sowas in der Art ... aber ich denke das ist nicht im Sinne der Aufgabe und auch noch nicht so gewollt.
Ich versuche das mal mit beliebigen Werte für a,b um so den x-Wert für das Maximum einzugrenzen bzw. mit Hilfe der Intervallschachtelung eine Lösung zu finden ...
Hat jemand noch eine andere Idee? Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Mi 20.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Nachdem ich ein wenig darüber nachgedacht habe halte ich diese Aufgabe leider für unsinnig. Vielleicht gibt es ein Rezept aus dem Unterricht. Ohne ein solches führten alle meine Versuche zu Strategien, die die Verwendung des Differenzenquotienten überflüssig machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du 2 verschiedene Punkte a,b findest, mit f(a)=f(b) dann muss (mindestens) eine waagerechte tangente dazwischen liegen. damit hast du eine Näherung mit dem Mittelpunkt zw a,b
durch die Nst hast du schon mal 2 solche Punkte
also ist zB a=0 [mm] b=\wurzel{6} [/mm] und damit [mm] b=\wurzel{6/4} [/mm] eine Näherung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mi 20.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Dabei braucht man aber den Differenzenquotienten nicht. Man kann sich so schrittweise, nur mit der Bedingung f(a) = f(b) mit a und b links und rechts vom Maximum annähern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 21.03.2013 | | Autor: | Olli1968 |
Ich habe nun folgenden Ansatz gewählt ...
[mm] m=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm]
mit [mm]f(x)=-\bruch{1}{6}x^3+x[/mm] erhält man für m
[mm]m=\bruch{-\bruch{1}{6}b^3+b-(-\bruch{1}{6}a^3+a)}{b-a} = \bruch{-\bruch{1}{6}b^3+b+\bruch{1}{6}a^3-a}{b-a}[/mm]
sotieren der Terme führt dann zu
[mm]m=\bruch{-\bruch{1}{6}b^3+\bruch{1}{6}a^3+b-a}{b-a}=\bruch{-\bruch{1}{6}(b^3-a^3)}{b-a}+\bruch{b-a}{b-a}[/mm]
und somit
[mm] m=\bruch{-\bruch{1}{6}(b^3-a^3)}{b-a}+1 [/mm]
Polynomdivision: [mm] \bruch{b^3-a^3}{b-a}=b^2+ab+a^2 [/mm]
und somit erhält man den Term
[mm] m=-\bruch{1}{6}(b^2+ab+a^2)+1 [/mm]
mit a=b folgt [mm] m=-\bruch{1}{2}b^2+1 [/mm]
Für das Maximum gilt [mm] m=0 [/mm] und somit ist [mm] b=\wurzel{2}[/mm]
So müsste es doch eigentlich gehen - oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Do 21.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, nur seltsam, dass es eine Näherung sein soll.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Do 21.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Diesen Weg hatte ich auch verworfen. Ohne a=b sehe ich keinen nächsten Schritt, es sei denn, es werden Werte für a und b ausprobiert. Das ist rechentechnisch etwas weniger Aufwand, als das direkte Einsetzen in die Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Do 21.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme näherungsweise das Maximum der Funktion
> [mm]f(x)=-\bruch{1}{6}x^3+x[/mm]
Nur nebenbei: f hat (auf [mm] \IR) [/mm] kein Maximum ......
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Do 21.03.2013 | | Autor: | Olli1968 |
Das stimmt - der Graph der Funktion war im Intervall I=[0;3] dargestellt und die Aufgaben bezogen sich auf diesen Kurvenabschnitt ...
Hätte ich bei der Aufgabenstellung dazu schreiben sollen ... sorry
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