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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Entscheide, ob die folgenden Mengen einfach zusammenhängende Gebiete sind
a) [mm] \IC [/mm] \ [-1;1]
b) [mm] \IC [/mm] \ [mm] (-\infty;0]
[/mm]
c) (]0;1[ x ]0;1[) \ {x+i/n; x [mm] \in [/mm] ]0;1/2] und n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2}
d) [mm] \IC [/mm] * \ { [mm] e^{t(1+i)}; [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] } |
Hallo,
man soll wohl folgenden Satz verwenden:
Sei G [mm] \subset \IC [/mm] ein Gebiet. Äquivalent sind:
(i) G ist einfach zusammenhängend
(ii) Sind [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] disjunkt, abgeschlossen in [mm] \IC [/mm] mit [mm] \IC [/mm] \ G = [mm] A_1 \cup A_2, [/mm] so ist keine der beiden Mengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] kompakt und nichtleer.
Leider weiß ich nicht, wie ich das genau anwenden soll.
Bei a) wäre ja [mm] \IC [/mm] \ [-1;1] = (- [mm] \infty, [/mm] -1) [mm] \cup [/mm] (1; [mm] \infty). [/mm] Damit hätte man doch schon zwei solcher Mengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] gefunden, oder?
Wäre sehr dankbar über eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Trikolon,
du hast prinzipiell folgende Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Bekanntlich ist ein Raum einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und die triviale Fundamentalgruppe besitzt.
Offenbar ist [mm] $A:=\IC\setminus [/mm] [-1,1]$ wegzuusammenhängend, aber $A$ besitzt keine triviale Fundamentalgruppe, denn es gibt einen Kreis [mm] $K:=\{x\in\IC:|x|= 1,5\}\in\IC$, [/mm] der ein Deformationsretrakt von $A$ ist, indem man alle Punkte von dem Intervall aus auf den Kreis schiebt. Für Punkte außerhalb des Kreises gilt die Deformationsretraktion [mm] $D(x,t)=(1-t)x+t\cdot 1,5\frac{x}{|x|}$ ($x\neq0$) [/mm] ebenfalls. Offenbar ist $|D(x,1)|=1,5$. Also ist die Fundamentalgruppe [mm] $\pi_1(A)\cong \pi_1(K)\cong\pi_1(S^1)\cong\IZ\not\cong0$. [/mm] Diese Möglichkeit bedarf jedoch eines genaueren Verständnisses algebraischer Topologie.
2. Möglichkeit: Über die Definition. Man zeige: [mm] \exists [/mm] geschlossener Weg, der sich nicht zusammenziehen lässt, d.h. nicht nullhomotop ist. Ein solcher Weg führt um das Intervall herum und könnte von der Form [mm] $t\mapsto 1,5\cdot e^{i2\pi t}$ ($t\in [/mm] [0,1]$) sein. Dass dieser geschlossene Weg nicht homotop zur konstanten Abb. ist, ist nicht einfach formal zu zeigen. Man kann sich jedoch vorstellen: Wenn man diese Art Lasso immer weiter zuzieht, wird immer das Intervall $[-1,1]$ im Weg stehen, s.d. man das Lasso nicht zu einem Punkt zusammenziehen kann. Diese Idee solltest du evtl. im Kopf haben, um ein Gespür für den Begriff "einfach zusammenhängend" zu entwickeln.
3. Möglichkeit: Kommen wir endlich zu der von dir vorgeschlagenen Möglichkeit, die häufig in Analysis Vorlesungen genutzt wird:
> Sei G [mm]\subset \IC[/mm] ein Gebiet. Äquivalent sind:
> (i) G ist einfach zusammenhängend
> (ii) Sind [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] disjunkt, abgeschlossen in [mm]\IC[/mm] mit
> [mm]\IC[/mm] \ G = [mm]A_1 \cup A_2,[/mm] so ist keine der beiden Mengen [mm]A_1[/mm]
> und [mm]A_2[/mm] kompakt und nichtleer.
Unser [mm] $\IC\setminus [-1,1]\neq \emptyset$ [/mm] ist ein Gebiet, da es als Komplement einer abgeschlossenen Menge offen ist und Teilmenge des normierten Raums [mm] $\IC$ [/mm] ist. Wir setzten [mm] $G:=\IC\setminus [/mm] [-1,1]$. Wir müssen für [mm] $\IC\setminus [/mm] G=[-1,1]$ zwei disjunkte abgeschlossene Mengen finden, s.d. mindestens eine kompakt ist, um zu zeigen, dass $G$ einfach zusammenhängend ist.
Die Frage ist nun, kann man solche Mengen finden?
Bedenke, [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] müssen Teilmengen von $[-1,1]$ sein!
Aber abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen sind kompakt! Widerspruch.
Die anderen Aufgaben überlasse ich dir.
Tipp: sternförmige Gebiete sind einfach zusammenhängend durch [mm] $H(x,t)=ts_0+(1-t)\gamma(x)$ [/mm] mit Sternzentrum [mm] $s_0$.
[/mm]
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Ladon, danke für deine Antwort! Die beiden ersten Möglichkeiten kann ich leider nicht nutzen, da verschiedene Begriffe noch nicht behandelt wurden. a) habe ich nun verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Deine "Frage" beinhaltet zwar keine solche, aber ich möchte dennoch einen Tipp zum 2. Teil geben.
Analoges Vorgehen:
Findest du oben beschriebene abgeschlossene Mengen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] für [mm] $(-\infty, [/mm] 0]$, s.d. [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] nicht kompakt und nichtleer sind?
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 28.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
> 3. Möglichkeit: Kommen wir endlich zu der von dir
> vorgeschlagenen Möglichkeit, die häufig in Analysis
> Vorlesungen genutzt wird:
>
> > Sei G [mm]\subset \IC[/mm] ein Gebiet. Äquivalent sind:
> > (i) G ist einfach zusammenhängend
> > (ii) Sind [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] disjunkt, abgeschlossen in [mm]\IC[/mm]
> mit
> > [mm]\IC[/mm] \ G = [mm]A_1 \cup A_2,[/mm] so ist keine der beiden Mengen [mm]A_1[/mm]
> > und [mm]A_2[/mm] kompakt und nichtleer.
>
> Unser [mm]\IC\setminus [-1,1]\neq \emptyset[/mm] ist ein Gebiet, da
> es als Komplement einer abgeschlossenen Menge offen ist und
> Teilmenge des normierten Raums [mm]\IC[/mm] ist. Wir setzten
> [mm]G:=\IC\setminus [-1,1][/mm]. Wir müssen für [mm]\IC\setminus G=[-1,1][/mm]
> zwei disjunkte abgeschlossene Mengen finden, s.d.
> mindestens eine kompakt ist, um zu zeigen, dass [mm]G[/mm] einfach
> zusammenhängend ist.
> Die Frage ist nun, kann man solche Mengen finden?
> Bedenke, [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] müssen Teilmengen von [mm][-1,1][/mm] sein!
> Aber abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen sind
> kompakt! Widerspruch.
>
> Die anderen Aufgaben überlasse ich dir.
> Tipp: sternförmige Gebiete sind einfach zusammenhängend
> durch [mm]H(x,t)=ts_0+(1-t)\gamma(x)[/mm] mit Sternzentrum [mm]s_0[/mm].
Was ich nicht ganz verstehe: du hast geschrieben, dass mindestens eine Menge kompakt sein muss. Wir haben aufgeschrieben, dass keine Menge kompakt ist...
> MfG
> Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 28.06.2015 | | Autor: | Ladon |
bedenke, es gilt:
Sei G $ [mm] \subset \IC [/mm] $ ein Gebiet. Äquivalent sind:
(i) G ist einfach zusammenhängend
(ii) Sind $ [mm] A_1 [/mm] $ und $ [mm] A_2 [/mm] $ disjunkt, abgeschlossen in $ [mm] \IC [/mm] $ mit $ [mm] \IC \setminus [/mm] G = [mm] A_1 \cup A_2, [/mm] $ so ist keine der beiden Mengen $ [mm] A_1 [/mm] $ und $ [mm] A_2 [/mm] $ kompakt und nichtleer.
Wir wollen zeigen, dass G NICHT einfach zusammenhängend ist.
Es handelt sich um eine einfache Verneinung von Aussagen.
Viele Grüße
Ladon
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