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| Aufgabe | | Gesucht ist die Lösung der Differenzengleichung f(n+1) - f(n) = n*0,5 - 0,5 , Anfangswert f(1) = 0,5 |
Hi
Die Aufgabe hab ich mir selbst ausgedacht, hier mein Lösungsversuch:
Homogene Gleichung lösen:
[mm] f_{hom}(n+1)-f_{hom}(n) [/mm] = 0 => [mm] f_{hom}(n) [/mm] = c.
Eine Lösung der inhomogenen Gleichung finden:
[mm] f_{i}(n+1)-f_{i}(n) [/mm] = n*0,5 - 0,5. Da die "Störfunktion" ein Polynom 1.Grades ist nimmt man für [mm] f_{i} [/mm] ja auch ein Polynom 1. Grades.. also [mm] f_{i}(n) [/mm] = x*n + y
=> x(n+1) + y - (xn + y) = n*0,5 - 0,5
=> x = n*0,5 - 0,5
Hier komme ich nicht weiter weil man ja eigentlich Koeffizientenvergleich macht wenn ich mich recht erinnere. Auf jeden Fall finde ich jetzt kein x sodass die Gleichung immer erfüllt ist. Also irgendwas muss ich wohl falsch gemacht haben. Nehme ich einfach x = n*0,5 - 0,5 und y = 0 (da beliebig) komme ich zum Ergebnis f(n) = [mm] 0,5n^2 [/mm] + 0,5n + c, was auf jeden fall falsch ist... wo liegt der fehler?
Vielen Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gesucht ist die Lösung der Differenzengleichung f(n+1) -
> f(n) = n*0,5 - 0,5 , Anfangswert f(1) = 0,5
Hallo,
braucht man hier überhaupt diese Theorie
mit Störfunktionen etc. ?
Man kann das doch wohl auch als Aufgabe zu
arithmetischen Zahlenfolgen auffassen.
Es ist [mm] f(2)=f(1)+\bruch{1-1}{2}
[/mm]
[mm] f(3)=f(2)+\bruch{2-1}{2}=f(1)+\bruch{1-1}{2}+\bruch{2-1}{2}
[/mm]
etc.
[mm] f(n)=f(1)+\summe_{k=1}^{n-1}\bruch{k-1}{2}
[/mm]
Diese Summe kann man elementar berechnen.
LG
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Hallo
darauf wäre ich ja gar nicht gekommen. Vielen Dank! Also f(n) = [mm] 1/4n^2 [/mm] - 3/4n + 1, was auch hinkommt.
Wäre trotzdem schön, wenn noch jemand die Herleitung über diese Ansatzfunktionen zeigen könnte, denn das machen wir gerade in der Vorlesung und anscheinend habe ich da ja etwas nicht verstanden.
Viele Grüße!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Gesucht ist die Lösung der Differenzengleichung
f(n+1) - f(n) = n*0,5 - 0,5
Anfangswert f(1) = 0,5 |
> Homogene Gleichung lösen:
> [mm] f_{hom}(n+1)-f_{hom}(n) [/mm] = 0 => [mm] f_{hom}(n) [/mm] = c.
> Eine Lösung der inhomogenen Gleichung finden:
> [mm] f_{i}(n+1)-f_{i}(n) [/mm] = n*0,5 - 0,5.
> Da die "Störfunktion" ein Polynom 1.Grades ist nimmt man
> für [mm] f_{i} [/mm] ja auch ein Polynom 1. Grades.. also [mm] f_{i}(n) [/mm] = x*n + y
> => x(n+1) + y - (xn + y) = n*0,5 - 0,5
> => x = n*0,5 - 0,5
> Hier komme ich nicht weiter weil man ja eigentlich Koeffizien-
> tenvergleich macht wenn ich mich recht erinnere. Auf jeden
> Fall finde ich jetzt kein x sodass die Gleichung immer erfüllt ist.
> Also irgendwas muss ich wohl falsch gemacht haben. Nehme
> ich einfach x = n*0,5 - 0,5 und y = 0 (da beliebig) komme
> ich zum Ergebnis f(n) = [mm] 0,5n^2 [/mm] + 0,5n + c, was auf jeden
> Fall falsch ist... wo liegt der Fehler?
.......
> Wäre trotzdem schön, wenn noch jemand die Herleitung über
> diese Ansatzfunktionen zeigen könnte, denn das machen wir
> gerade in der Vorlesung.
Hallo,
ich habe mir das nochmals angeschaut. Mir ist die zuge-
hörige Theorie zwar eigentlich nicht vertraut, aber ich
denke, dass man wohl, wenn die "Störfunktion" linear
ist, für [mm] f_i [/mm] nicht einen linearen Ansatz, sondern einen
quadratischen (also 1 Grad höher) nehmen muss.
Dann hätten wir:
$\ [mm] f_i(n)=a*n^2+b*n+c$
[/mm]
$\ [mm] f_i(n+1)=a*(n+1)^2+b*(n+1)+c=a*n^2+2*a*n+a+b*n+b+c$
[/mm]
$\ [mm] f_i(n+1)-f_i(n)=2*a*n+a+b$ [/mm]
Nun soll $\ [mm] f_i(n+1)-f_i(n)=\bruch{1}{2}*n-\bruch{1}{2}$ [/mm] sein, also:
$\ [mm] 2*a*n+a+b=\bruch{1}{2}*n-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
$\ [mm] 2*a\,=\,\bruch{1}{2}$
[/mm]
$\ [mm] a+b\,=\,-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Daraus ergibt sich:
$\ [mm] a=\bruch{1}{4}$ [/mm] $\ [mm] b=-\bruch{3}{4}$
[/mm]
also
$\ [mm] f_i(n)=\bruch{1}{4}*n^2-\bruch{3}{4}*n+c$
[/mm]
Anfangsbedingung:
$\ [mm] f_i(1)=\bruch{1}{2}$
[/mm]
d.h.
$\ [mm] \bruch{1}{4}*1^2-\bruch{3}{4}*1+c=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Daraus folgt c=1 , und die gesuchte Funktion ist damit
$\ [mm] f(x)=\bruch{1}{4}*n^2-\bruch{3}{4}*n+1$
[/mm]
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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