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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Sa 05.04.2008 | | Autor: | straussy |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden RWPs [mm] -\Delta u(x)=1\quad x \in \Omega\quad \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow {n}} (x)=1\quad x\in \partial\Omega[/mm] auf dem Gebiet [mm] \Omega=(0,a)\times(0,b)[/mm]. |
Hi,
leider hab ich keine Vorlesung zu partiellen DGls besucht, dem entsprechend tue ich mich jetzt ein wenig schwer mit der Lösung. Wäre echt nett, wenn jemand einen Anzatz scheiben könnte.
vielen Dank im Voraus, Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Sa 05.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> leider hab ich keine Vorlesung zu partiellen DGls besucht, dem entsprechend tue ich mich jetzt ein wenig schwer mit der Lösung. Wäre echt nett, wenn jemand einen Anzatz scheiben könnte.
Wo kommt die Aufgabe denn vor? Ich habe auch keine Vorlseung besucht, deswegen kenn ich die Lösung ad hoc auch nicht. Obiges ist eine Laplace-Gleichung - hierfür gibt es baer soweit ich das sehe ein bißchen Theorie: suchmal nach "PDE Laplace". Im Buch über PDEs von Evans stehen auch einige Sätze - die könnten helfen, das Problem zu atackieren. (In der Bibliothek suchen). Falls du eine Lösung hast, sag sie uns dann doch bitte! :)
SEcki
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Hi,
die Aufgabe ist aus der Vorlesung numerische Mathematik partielle Differentialgleichungen. Eine analytische Vorlesung zu dem Thema ist bei uns aber nicht Pflicht, so kommt es, dass mir da ein paar Gundlagen fehlen.
Der Ansatz, der mir fehlte, ist, dass man das ganze auf gewöhnliche DGLs reduzieren kann. (Hab ich hier in einem anderen Beitrag gefunden.)
Ich hab jetzt zwei gewöhnliche DGLs aufgestellt:
[mm]u_1''(x_1)u_2(x_2)=k[/mm] und
[mm]u_1(x_1)u_2''(x_2)=-1-k[/mm]
wobei [mm]u_1(x_1)u_2(x_2)=u(x_1,x_2)[/mm]
Das ergibt dann [mm]u_1u_2=\frac{1}{2}(kx_1^2+(-1-k)x_2^2)+(c_1x_1+c_2)(c_3x_2+c_4)+c_5[/mm] wobei ich mir noch nicht ganz sicher bin ob man das wirklich so machen kann. Jedenfalls habe ich das dann am Rand des Gebietes ausgewertet:
[mm]x_1=a \quad x_2\in(0,b)[/mm] dann ist die Einheitsnormale [mm]\overrightarrow{n}={1 \choose 0}[/mm] und damit [mm]\frac{\partial}{\partial \overrightarrow{n}}u=ka+c_1(c_3x_2+c_4)=1[/mm]. Das ganze macht man jetzt für die restlichen 3 Richtungen des Gebiets auch:
[mm]x_1=0 \quadx_2\in(0,b)[/mm] dann ist die Einheitsnormale [mm]\overrightarrow{n}={-1 \choose 0}[/mm] und damit [mm]\frac{\partial}{\partial \overrightarrow{n}}u=-c_1(c_3x_2+c_4)=1[/mm]
[mm]\Rightarrow k=0[/mm]
[mm]x_1\in(0,a) \quad x_2=b[/mm] dann ist die Einheitsnormale [mm]\overrightarrow{n}={0 \choose 1}[/mm] und damit [mm]\frac{\partial}{\partial \overrightarrow{n}}u=(-1-k)a+c_3(c_1x_1+c_2)=1[/mm]
[mm]x_1\in(0,a)\quad x_2=b[/mm] dann ist die Einheitsnormale [mm]\overrightarrow{n}={0 \choose -1}[/mm] und damit [mm]\frac{\partial}{\partial \overrightarrow{n}}u=-c_3(c_1x_1+c_2)=1[/mm]
[mm]\Rightarrow k=-1[/mm] Widerspruch.
Wäre nett wenn mir jemand sagt, ob das so ungefähr stimmt.
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 08.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi,
>Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden RWPs [mm][mm]-\Delta u(x)=1\quad[/mm] x [mm]\in \Omega\quad \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow {n}} (x)=1\quad x\in \partial\Omega[/mm][/mm] auf dem Gebiet [mm][mm]\Omega=(0,a)\times(0,b)[/mm].[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] Hi,[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]leider hab ich keine Vorlesung zu partiellen DGls besucht, dem entsprechend tue ich mich jetzt ein wenig schwer mit der Lösung. Wäre echt nett, wenn jemand einen Anzatz scheiben könnte.[/mm][/mm]
existenz einer loesung kann man sicherlich mit einem satz aus der theorie linearer elliptischer PDEs begruenden oder aber (etwas bodenstaendiger) durch berechnung einer loesung durch trennung der variablen so wie du es gemacht hast.
beachte, dass eine loesung keinesfalls eindeutig ist, da nur ableitungen in der PDE und randbedingungen vorkommen und nicht die funktion selbst. Addieren von konstanten liefert also weitere loesungen.
gruss
matthias
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]vielen Dank im Voraus, Tobias [/mm][/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 09.04.2008 | | Autor: | straussy |
Das Problem ist nur, dass ich keine Lösung gefunden habe. Bei mir kommt da ja ein Widerspruch raus, deshalb müsste ich beweisen, dass alle Lösungen von der Form [mm]u(x)=u_1(x_1)u_2(x_2)[/mm] sind. Egal, ich werd ja morgen sehen, obs richtig war oder obs nen anderen Weg gibt. Trotzdem danke
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