Einfache Umformung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 So 15.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich wollte mal fragen, wie ich einfach (durch Umformungen oder ähnliches) nachweisen kann, dass folgendes gilt:
|ak+1|-|ak|<0
[mm] 2*\bruch{(v+3)^{1/2}}{2v+5}-2*\bruch{(v+2)^{1/2}}{2v+3} [/mm] < 0
Wie könnte ich das leicht zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 So 15.05.2005 | | Autor: | Beule-M |
zu 1.
wenn ak eine Variable ist, dann gilt die Aussage doch nur, wenn ak< -0,5 ist.
muss der Definitionsbereich für ak nicht mit angegeben werden, oder habe ich was falsch verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 So 15.05.2005 | | Autor: | Maiko |
ak ist eine Reihe und ak+1 ist der Nachfolger dieser Reihe.
Ich habe dann für ak und ak+1 die Reihe bzw. den Nachfolger der Reihe eingesetzt und soll jetzt nachweisen, dass die Gleichung < 0 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
[mm] a_{k} [/mm] ist eine Reihe und [mm] a_{k+1} [/mm] ist der Nachfolger dieser Reihe.
Ich habe dann für [mm] a_{k} [/mm] und [mm] a_{k+1} [/mm] die Reihe bzw. den Nachfolger der Reihe eingesetzt und soll jetzt nachweisen, dass die Differenz beider, also
[mm] a_{k}-a_{k+1} [/mm] < 0
ist.
Ich hoffe, ich hab das jetzt verständlich geschrieben.
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Hallo!
Bei der Aufgabe ist mir nicht klar, was das ak bedeuten soll: Ist ads [mm] a_k [/mm] oder eine Variable ak. Sollte damit eine Folge gemeint sein, nutzt bitte folgende Schreibweise: [mm] a_k. [/mm] Mehr zu den mathematischen Symbolen dürft ihr unter dem Editorfenster finden, bzw. wo steht: Eingabehilfen: (ausführliche Hilfe zu HTML und Formeln). Das erleichtert mir und vielen Lesern das Verständnis der Aufgabenstellung und so können wir schneller eine Antwort geben.
Gruss,
logarithmus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Beule-M |
Habe die Lösung versehentlich im Bereich Oberstufe gesendet
Du willst sicher nachweisen, dass die Folge konvergiert, oder?
Die Lösung hängt in jedem Fall von V ab.
Ich würde die Formel nach v umstellen.
den Faktor 2 kan man kürzen
[mm] \bruch{(v+3)^{,5}}{2v+5}-\bruch{(v+2)^{,5}}{2v+3}<0
[/mm]
=> [mm] (v+3)^{,5}*(2v+3) [/mm] - [mm] (v+2)^{,5}*(2v+5) [/mm] <0 | + [mm] (v+2)^{,5}*(2v+5) [/mm]
=> [mm] (v+3)^{,5}*(2v+3) [/mm] < [mm] (v+2)^{,5}*(2v+5) [/mm] /quadrieren
=> [mm] (v+3)*(2v+3)^{2} [/mm] < [mm] (v+2)*(2v+5)^{2} [/mm] /ausmultiplizieren
=> [mm] 4V^{3}+24V^{2}+45V+27<4V^{3}+28V^{2}+65V+50 [/mm] | [mm] (-(4V^{3}+24V^{2}+45V+27))
[/mm]
=> [mm] 0<4V^{2}+20V+23 [/mm] / dividieren durch 4
=> [mm] 0
=> [mm] \bruch{2}{4}<(v+2,5)^{2} [/mm] | Wurzel ziehen
=> [mm] \wurzel{ \bruch{2}{4}}
[mm] =>\wurzel{ \bruch{2}{4}}-2,5
=> [mm] \bruch{ \wurzel{2}-5}{2}
v ungleich -1,5 da sonst Division durch Null
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Haben wir jetzt aber wirklich nachgewíesen, dass
[mm] |a_{k}| [/mm] - [mm] |a_{k+1}| [/mm] < 0
?
Ebenfalls Grüße aus Sachsen,
Bin übrigens auch E-Technik-Student an der TU
Hast du dort auch studiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Beule-M |
Hallo,
ich denke schon, aber nur unter der Bedingung für V.
V ist doch eine Variable oder? Gibt es denn keinen Definitionsbereich für V?
Ich mache zur Zeit ein Fernstudium in Köthen.
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Hallo Beule-M,
Formal müsste da natürlich überall [mm] \Leftarrow [/mm] stehen. Weil man ja das zeigen will was oben steht.
> => [mm](v+3)^{,5}*(2v+3)[/mm] < [mm](v+2)^{,5}*(2v+5)[/mm] /quadrieren
> => [mm](v+3)*(2v+3)^{2}[/mm] < [mm](v+2)*(2v+5)^{2}[/mm]
> /ausmultiplizieren
Hier müsste man ,von unten nach oben gedacht, die Wurzel ziehen. Dabei müsste man sicher stellen das das richtige(gewünschte Vorzeichen) entsteht. Umgekehrt muß man natürlich beim Quadrieren aufpassen das sich nicht das Vorzeichen ändert und somit < zu > werden kann. Da es sich hier vermutlich um eine Folge handelt wird wohl v>0 gelten somit gibt's da wahrscheinlich keine Probleme.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Beule-M |
es gibt durch das Quadrieren natürlich auch eine Scheinlösung => [mm] \bruch{-( \wurzel{2}+5)}{2}
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Hallo Matthias,
Die von mir zitierte Umformung ergibt natürlich nur eine Einschränkung des Definitionsbereiches v>-2. Weiter oben multiplizierst Du jedoch mit (2v+3)(2v+5) Daraus ergibt sich nochmal eine Einschränkung v>-1,5 oder v<-2,5 sonst wäre es ja negativ(Umkehr des Vorzeichens).
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Sorry, aber so richtig werde ich noch nicht schlau daraus.
Ich wollte doch zeigen, dass
[mm] |a_{k+1}| [/mm] - [mm] |a_{k}| [/mm] < 0
ist.
Jetzt verstehe ich allerdings nicht, warum ihr nach v umstellt. Ich dachte z.B. an eine Umformung, mit welcher ich beide Brüche auf einen Nenner bringe und dann der Zähler negativ wird, oder ähnliches...
So hatten wir das zumindest bis jetzt immer gemacht.
Ich weiß aber nicht, was es bringen sollte, jetzt nach v umzustellen.
Ich wollte doch bloß wissen, ob der "Nachfolger" der Folge [mm] a_{k} [/mm] kleiner als [mm] a_{k} [/mm] ist.
Könntet ihr das nochmal bissel ausführlicher erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
> Ich wollte doch zeigen, dass [mm]|a_{k+1}|[/mm] - [mm]|a_{k}|[/mm] < 0 ist.
>
> Jetzt verstehe ich allerdings nicht, warum ihr nach v
> umstellt. Ich dachte z.B. an eine Umformung, mit welcher
> ich beide Brüche auf einen Nenner bringe und dann der
> Zähler negativ wird, oder ähnliches...
> So hatten wir das zumindest bis jetzt immer gemacht.
> Ich weiß aber nicht, was es bringen sollte, jetzt nach v
> umzustellen.
> Ich wollte doch bloß wissen, ob der "Nachfolger" der Folge
> [mm]a_{k}[/mm] kleiner als [mm]a_{k}[/mm] ist.
Du hast je einfach eine Behauptung aufgestellt mit [mm]\left|a_{k+1}\right| - \left|a_{k}\right| \ < \ 0[/mm].
Diesen Ausdruck mußt Du nun so lange umformen, bis Du eine wahre oder unwahre Aussage erhältst, damit Du diese gemachte Behauptung nun belegt oder widerlegt hast.
Diese Umformung kann teilweise sehr schnell gehen, oder wie in diesem Fall etwas länger dauern, da Du ja eine gesicherte (wahre oder unwahre) Aussage benötigst.
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Beule-M |
Der Nachfolger ist nur kleiner, wenn die Bedingung für V erfüllt ist.
Wenn die Bedingung für V nicht erfüllt ist, dann ist der Nachfolger der Fole größer, oder im ungünstigsten Fall wird die Gleichung nicht lösbar, da es zu einer Division durch Null kommt.
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