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| Aufgabe | | Zeige dass [mm] \bruch{n^{2}-1} [/mm] durch 8 teilbar ist für alle ungeraden ganzen Zahlen n |
Hi,
da ich mich jetzt für mein Studium in England bewerbe habe ich auch mit der Vorbereitung für die Interviwes begonnen. Dabei geht es darum relativ einfache bekannte Konzepte auf neue Probleme anzuwenden. Ich komme allerdings noch nicht so ganz dahinter. Dies ist eine Frage aus früheren Intervies. Wäre super, wenn mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige dass [mm]\bruch{n^{2}-1}[/mm] durch 8 teilbar ist für alle
> ungeraden ganzen Zahlen n
>
> Hi,
>
> da ich mich jetzt für mein Studium in England bewerbe habe
> ich auch mit der Vorbereitung für die Interviwes begonnen.
> Dabei geht es darum relativ einfache bekannte Konzepte auf
> neue Probleme anzuwenden. Ich komme allerdings noch nicht
> so ganz dahinter. Dies ist eine Frage aus früheren
> Intervies. Wäre super, wenn mir jemand ein wenig auf die
> Sprünge helfen könnte.
>
> Vielen Dank,
>
> exeqter
mache Dir zunächst mal klar, dass wir uns darauf beschränken können, die Behauptung für alle ungeraden $n [mm] \in \IN$ [/mm] zu zeigen (ist nämlich $z [mm] \in \IZ_{<0}$ [/mm] ungerade, so ist $-z=:n(z) [mm] \in \IN$ [/mm] und $n:=n(z)=-z$ ungerade, und offensichtlich gilt dann [mm] $z^2-1=(-n(z))^2-1=(n(z))^2-1=n^2-1$).
[/mm]
Der Rest geht über Induktion:
Für $n=1$ ist die Behauptung klar.
Da die Behauptung nun für alle ungeraden $n [mm] \in \IN$ [/mm] zu zeigen ist, müssen wir den Induktionsschritt zur nächsten ungeraden natürlichen Zahl machen, also $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$.
Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$:
Es sei nun $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $n^2-1$ [/mm] durch 8 teilbar ist, d.h. es existiert ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] (genauer kann man hier auch $k [mm] \in \IN$ [/mm] fordern) derart, dass [mm] $n^2-1=k*8$.
[/mm]
Wir haben nun zu zeigen, dass dann auch schon [mm] $(n+2)^2-1$ [/mm] durch $8$ teilbar ist, d.h. dass dann ein $k' [mm] \in \IZ$ [/mm] so existiert, dass [mm] $(n+2)^2-1=k'*8$.
[/mm]
Es gilt nun
$$
[mm] (n+2)^2-1=(n^2-1)+4n+4=(n^2-1)+4*(n+1)
[/mm]
$$
Das zeigt auch schon, dass [mm] $(n+2)^2-1$ [/mm] durch $8$ teilbar ist. Warum?
(Man kann mithilfe des $k$'s mit [mm] $n^2-1=8*k$ [/mm] ein (genauer: das) $k' [mm] \in \IZ$ [/mm] sogar konkret angeben.)
(Ein Tipp zum drübernachdenken: [mm] $n^2-1$ [/mm] ist nach I.V. durch $8$ teilbar und ich behaupte, dass, wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] ungerade ist, dann auch offensichtlich $4*(n+1)$ durch $8$ teilbar sein muss. Warum?)
Das wäre ein "mathematisch sauberer Beweis" (sofern sich keine Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen haben sollten  ). 
Alternativ:
[mm] $n^2-1=(n+1)(n-1)$
[/mm]
Für $n=1$ ist das offensichtlich durch $8$ teilbar, und ansonsten behaupte ich einfach mal, dass man sich überlegen kann, dass stets einer der beiden Faktoren rechterhand durch $4$ teilbar sein muss. Und zudem sind beide Faktoren stets gerade, d.h. der andere ist dann insbesondere durch $2$ teilbar, was insgesamt die Behauptung liefert. Das ist so alles korrekt, klingt aber m.M.n. etwas "lax", daher ist es eine gute Überlegung, sich klar zu machen, wie man das sauber aufschreiben könnte.
Z.B. indem man sich klarmacht:
Alle durch $4$ teilbaren ganzen Zahlen sind durch die Menge
$$
[mm] \{4*k;\;k \in \IZ\}
[/mm]
$$
gegeben.
Alle geraden ganzen Zahlen:
$$
[mm] \{2m;\;m \in \IZ \}
[/mm]
$$
Alle ungeraden ganzen Zahlen:
$$
[mm] \{2n+1; \; n \in \IZ\}
[/mm]
$$
(alternative Darstellung: [mm] $$\{2n-1;\; n \in \IZ\}$$)
[/mm]
etc.
Gruß,
Marcel
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wenn ich gewusst hätte, dass es da "interwives" gibt,
hätte ich mich damals vielleicht auch beworben...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 So 20.07.2008 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
entschuldige, dass ich solange gebraucht habe. Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Lg,
exeqter
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Jede ungerade Zahl n [mm] \in \IZ [/mm] lässt sich schreiben als
n=2*a-1, [mm] a\in \IZ.
[/mm]
Dann ist [mm] n^2-1 =(2*a-1)^2-1=4*a^2-4*a+1-1 [/mm] (bin. Formel)
[mm] =4*a^2-4*a=4*a(a-1)
[/mm]
Das Ergebnis ist durch 4 teilbar, man erhält dann a(a-1). Von diesen beiden Faktoren ist einer gerade und einer ungerade (2 aufeinander folgende Zahlen), also kann man das Produkt noch mal durch 2 teilen. Insgesamt ist es also durch 8 teilbar.
Die vollständige Induktion ist hier nicht nötig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Di 22.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jede ungerade Zahl n [mm]\in \IZ[/mm] lässt sich schreiben als
> n=2*a-1, [mm]a\in \IZ.[/mm]
>
> Dann ist [mm]n^2-1 =(2*a-1)^2-1=4*a^2-4*a+1-1[/mm] (bin. Formel)
> [mm]=4*a^2-4*a=4*a(a-1)[/mm]
>
> Das Ergebnis ist durch 4 teilbar, man erhält dann a(a-1).
> Von diesen beiden Faktoren ist einer gerade und einer
> ungerade (2 aufeinander folgende Zahlen), also kann man das
> Produkt noch mal durch 2 teilen. Insgesamt ist es also
> durch 8 teilbar.
>
> Die vollständige Induktion ist hier nicht nötig.
ich habe auch nicht behauptet, dass sie notwendig sei (nichtsdestotrotz kann man mit ihr verfahren). Ansonsten entspricht Dein Verfahren der von mir erwähnten alternativen Methode + Hinweise dazu, welches ich eXeQteR selbst noch notieren lassen wollte. Aber das macht ja nichts, so kann er es ggf. nochmals kontrollieren.
Gruß,
Marcel
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