Einheiten eines Rings < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Do 30.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] a^2 \in \IZ. [/mm] Definiere [mm] \IZ[a] [/mm] := {m+na| m,n [mm] \in \IZ [/mm] } [mm] \subset \IC.
[/mm]
Bestimmen Sie alle Einheiten von [mm] \IZ[\wurzel{5}i] [/mm] (i imaginäre Einheit)
Hinweis: für das Betragsquadrat gilt: [mm] |zw|^2 [/mm] = [mm] |z|^2|w|^2 [/mm] für alle z,w [mm] \in \IC [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe bereits überprüft, dass [mm] \IZ[a] [/mm] ein Ring ist. Ein x [mm] \in \IZ[\wurzel{5}i] [/mm] heißt Einheit, wenn es ein y [mm] \in \IZ[\wurzel{5}i] [/mm] gibt mit xy = 1
Aufgrund des Hinweises am Ende der Aufgabe bin ich mir nun nicht sicher, ob ich untersuchen muss, ob xy=1+0i oder ob |xy|=1. Für beide Möglichkeiten erhalte ich eine Gleichung mit mind. 3 Variablen, die ich nicht weiter auflösen kann.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Do 30.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei a [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]a^2 \in \IZ.[/mm] Definiere [mm]\IZ[a][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {m+na|
> m,n [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset \IC.[/mm]
Du meinst wohl [mm] $a^2 \not\in \IZ$.
[/mm]
> Bestimmen Sie alle Einheiten
> von [mm]\IZ[\wurzel{5}i][/mm] (i imaginäre Einheit)
> Hinweis: für das Betragsquadrat gilt: [mm]|zw|^2[/mm] = [mm]|z|^2|w|^2[/mm]
> für alle z,w [mm]\in \IC[/mm]
>
> ich habe bereits überprüft, dass [mm]\IZ[a][/mm] ein Ring ist. Ein
> x [mm]\in \IZ[\wurzel{5}i][/mm] heißt Einheit, wenn es ein y [mm]\in \IZ[\wurzel{5}i][/mm]
> gibt mit xy = 1
> Aufgrund des Hinweises am Ende der Aufgabe bin ich mir nun
> nicht sicher, ob ich untersuchen muss, ob xy=1+0i oder ob
> |xy|=1. Für beide Möglichkeiten erhalte ich eine
> Gleichung mit mind. 3 Variablen, die ich nicht weiter
> auflösen kann.
>
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ist $a + i [mm] \sqrt{5} [/mm] b [mm] \in \IZ[\sqrt{5} [/mm] i]$ ist $|a + i [mm] \sqrt{5} b|^2 \in \IN$.
[/mm]
Wenn also $(a + i [mm] \sqrt{5} [/mm] b) (c + i [mm] \sqrt{5} [/mm] d) = 1$ gilt, dann gilt $|a + i [mm] \sqrt{5} b|^2 \cdot [/mm] |c + i [mm] \sqrt{5} d|^2 [/mm] = 1$ mit natuerlichen Zahlen $|a + i [mm] \sqrt{5} b|^2$ [/mm] und $|c + i [mm] \sqrt{5} d|^2$.
[/mm]
Also, was kannst du ueber $|a + i [mm] \sqrt{5} b|^2$ [/mm] sagen? Und was bedeutet das fuer $a$ und $b$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 31.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für den Hinweis. Ist es richtig, dass es nur eine Einheit gibt, nämlich 1?
Katrin
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Hallo
> Hallo,
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> vielen Dank für den Hinweis. Ist es richtig, dass es nur
> eine Einheit gibt, nämlich 1?
Fast. Es gibt 2 Einheiten... nämlich [mm] $\pm [/mm] 1$.
>
> Katrin
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Sa 01.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe.
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