Einheiten in einem Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei R ein Ring und E die Menge der Einheiten von R. Zeige, dass E bzgl. der Multiplikation auf R eine Gruppe ist! |
Hallo,
diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
Das erste, was mir bei der Aufgabe auffällt,
ist dass von Einheiten in einem Ring die Rede ist,
obwohl meine Vorlesung Einheiten nur in Integritätsbereichen
(nullteilerfreier Ring) definiert:
Sei R ein Integritätsbereich. Ein Element c [mm] \in [/mm] R heißt
Einheit, falls c | 1 .
Das Nachprüfen von Gruppenaxiomen sollte kein Problem sein.
Jedoch fällt es mir schwer die Menge E aufzustellen
E = Menge der Einheiten von R = {c [mm] \in [/mm] R : c|1 }
= {c [mm] \in [/mm] R : 1 = cd , d [mm] \in [/mm] R geeignet }
an dieser Stelle bin ich jedoch leider mit meinem Latein am Ende :(
danke an alle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Sa 11.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei R ein Ring und E die Menge der Einheiten von R. Zeige,
> dass E bzgl. der Multiplikation auf R eine Gruppe ist!
>
> diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
>
> Das erste, was mir bei der Aufgabe auffällt,
> ist dass von Einheiten in einem Ring die Rede ist,
> obwohl meine Vorlesung Einheiten nur in
> Integritätsbereichen
> (nullteilerfreier Ring) definiert:
>
> Sei R ein Integritätsbereich. Ein Element c [mm]\in[/mm] R heißt
> Einheit, falls c | 1 .
Normalerweise definiert man das fuer beliebige Ringe, indem man sagt es gibt ein $d [mm] \in [/mm] R$ mit $c d = 1 = d c$. (Wobei man die eine Seite weglassen kann wenn man voraussetzt dass der Ring kommutativ ist.)
> Das Nachprüfen von Gruppenaxiomen sollte kein Problem
> sein.
Gut.
> Jedoch fällt es mir schwer die Menge E aufzustellen
>
> E = Menge der Einheiten von [mm]R = \{c \in R : c|1 \}[/mm]
> [mm]{} = \{c \in R : 1 = cd , d \in R \text{ geeignet } \}[/mm]
Besser vielleicht: [mm] $\{ c \in R : \exists d \in R : 1 = c d \}$.
[/mm]
>
> an dieser Stelle bin ich jedoch leider mit meinem Latein am
> Ende :(
Wieso? Konkreter brauchst du es doch gar nicht. Du musst zeigen, dass aus $a, b [mm] \in [/mm] E$ folgt, dass $a b$ in $E$ liegt. Und du musst zeigen dass $E$ nicht leer ist, aber ein Element welches drinnen ist kannst du sofort angeben.
LG Felix
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danke dafür, felix
ich muss also für E = {c [mm] \in [/mm] R : [mm] \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] R : 1 = cd } die Gruppenaxiome überprüfen
(i) Abgeschlossenheit
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] E : ( a [mm] \circ [/mm] b ) [mm] \in [/mm] E ,
(ii) Assoziativgesetz
[mm] \forall [/mm] a,b,c \ in E : (a [mm] \circ [/mm] b ) [mm] \circ [/mm] c = a [mm] \circ [/mm] ( b [mm] \circ [/mm] c )
(iii) Existenz eines neutralen Elementes
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] E : e [mm] \circ [/mm] a = a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] E
(iv) Existenz eines inversen Elementes
zu jedem a gibt es ein b mit [mm] a\circ [/mm] b = e
(v) E ist nicht leer
wobei [mm] \circ [/mm] die normale Multiplikation ist
das "eine element", dass du erwähnt hast, ist sicher die 1, da 1 = [mm] 1\circ [/mm] 1 und 1 [mm] \in [/mm] R
Seien also x,y,z [mm] \in [/mm] E
=> 1= x [mm] d_{1}
[/mm]
1= y [mm] d_{2}
[/mm]
1 = z [mm] d_{3}
[/mm]
ich verstehe nciht ganz wie´s weitergehen soll. löse ich jetzt nach x,y und z auf und komme auf
(xy)z =( [mm] \bruch{1}{d_{1}} \bruch{1}{d_{2}} [/mm] ) [mm] \bruch{1}{d_{3}}
[/mm]
und da die multiplikation kommutativ ist, komme ich auf x(yz)
ich kann doch aber "nicht mal eben" die division einführen
ich habe den mund ohl doch zu voll genommen als ich sagte, gruppenaxioe überprüfen isst "kein problem"
bitte helft mir auf die sprünge, danke !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> (i) Abgeschlossenheit
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] E : ( a [mm]\circ[/mm] b ) [mm]\in[/mm] E ,
> (ii) Assoziativgesetz
> [mm]\forall[/mm] a,b,c \ in E : (a [mm]\circ[/mm] b ) [mm]\circ[/mm] c = a
> [mm]\circ[/mm] ( b [mm]\circ[/mm] c )
> (iii) Existenz eines neutralen Elementes
> [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] E : e [mm]\circ[/mm] a = a [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] E
> (iv) Existenz eines inversen Elementes
> zu jedem a gibt es ein b mit [mm]a\circ[/mm] b = e
> (v) E ist nicht leer
> wobei [mm]\circ[/mm] die normale Multiplikation ist
Soweit so gut.
> das "eine element", dass du erwähnt hast, ist sicher die 1,
> da 1 = [mm]1\circ[/mm] 1 und 1 [mm]\in[/mm] R
Genau, also sind die Aussagen v) und iii) bewiesen.
> Seien also x,y,z [mm]\in[/mm] E
> => 1= x [mm]d_{1}[/mm]
> 1= y [mm]d_{2}[/mm]
> 1 = z [mm]d_{3}[/mm]
>
> ich verstehe nciht ganz wie´s weitergehen soll. löse ich
> jetzt nach x,y und z auf und komme auf
>
> (xy)z =( [mm]\bruch{1}{d_{1}} \bruch{1}{d_{2}}[/mm] )
> [mm]\bruch{1}{d_{3}}[/mm]
>
> und da die multiplikation kommutativ ist, komme ich auf
> x(yz)
>
> ich kann doch aber "nicht mal eben" die division einführen
Ich verstehe nicht was du in diesem Teil eigentlich zeigen willst. Die Assoziativität gilt doch im ganzen Ring, dann doch erst recht auf jeder Teilmenge, insbesondere auf E. Damit hast du Aussage ii).
Es bleibt noch die Abgeschlossenheit i) und die Existenz des Inversen iv).
zu i) Sind [mm]c,d\in E[/mm], d.h. [mm]cc'=dd'=1[/mm] für geeignete [mm] $c',d'\in [/mm] R$, dann ist $(cd)(d'c')= ???$. Ist also auch [mm] $(cd)\in [/mm] E$?
zu iv) Sei [mm] $c\in [/mm] E$. Nach Def. gibt es [mm] $d\in [/mm] R$ mit $cd=1$, bleibt noch zu zeigen, dass auch [mm] $d\in [/mm] E$ ist - benutze die Kommutativität.
Gruß, Robert
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zu i) Sind $ [mm] c,d\in [/mm] E $, d.h. $ cc'=dd'=1 $ für geeignete $ [mm] c',d'\in [/mm] R $, dann ist $ (cd)(d'c')= ??? $. Ist also auch $ [mm] (cd)\in [/mm] E $?
damit habe ich noch immer mein probleme. kann mir wer auf die sprünge helfen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Do 16.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> zu i) Sind [mm]c,d\in E [/mm], d.h. [mm]cc'=dd'=1[/mm] für geeignete [mm]c',d'\in R [/mm],
> dann ist [mm](cd)(d'c')= ??? [/mm]. Ist also auch [mm](cd)\in E [/mm]?
>
> damit habe ich noch immer mein probleme. kann mir wer auf
> die sprünge helfen?
[mm](cd)(d'c')= c(dd')c'=cc'=1[/mm], also auch [mm] $cd\in [/mm] E$.
Gruß, Robert
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