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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 08.08.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1,3,7 und 9. |
Ich verstehe diese Aussage nicht, vielleicht auch weil ich die Begriffe noch nicht so ganz verstehe:
Die Einheitengruppe ist doch die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente des Restklassenringes.
Die Elemente 1,3,7,9 des Restklassenringes lauten
[mm]1:=\{..,-9,1,11,21,31,..\}[/mm]
[mm]3:=\{..,-7,3,13,23,33,..\}[/mm]
[mm]7:=\{..,-3,7,17,27,37,..\}[/mm]
[mm]9:=\{..,-1,9,19,29,39,..\}[/mm]
Ist da richtig ?
Warum sind gerade diese 4 Elemente invertierbar ?
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Es besitzen genau diejenigen Restklassen multiplikative Inverse, deren Erzeugende teilerfremd zu 10 sind:
1,10 teilerfremd
2,10 nicht teilerfremd
3,10 teilerfremd
4,10 nicht teilerfremd
5,10 nicht teilerfremd
6,10 nicht teilerfremd
7,10 teilerfremd
8,10 nicht teilerfremd
9,10 teilerfremd
Also bilden die Restklassen [mm]\overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9}[/mm] die Einheitengruppe. Du kannst das überprüfen: Jedes Gruppenelement muß ein Inverses besitzen:
[mm]\overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1}[/mm]
[mm]\overline{3} \cdot \overline{7} = \overline{21} = \overline{1}[/mm]
[mm]\overline{9} \cdot \overline{9} = \overline{81} = \overline{1}[/mm]
[mm]\overline{1}[/mm] und [mm]\overline{9}[/mm] sind also jeweils zu sich selbst invers; [mm]\overline{3}[/mm] und [mm]\overline{7}[/mm] sind invers zueinander. Die Gruppe ist zyklisch von der Ordnung 4. Ein erzeugendes Element ist z.B. [mm]\overline{3}[/mm]:
[mm]\overline{3}^1 = \overline{3}[/mm]
[mm]\overline{3}^2 = \overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9}[/mm]
[mm]\overline{3}^3 = \overline{3}^2 \cdot \overline{3} = \overline{9} \cdot \overline{3} = \overline{27} = \overline{7}[/mm]
[mm]\overline{3}^4 = \overline{3}^3 \cdot \overline{3} = \overline{7} \cdot \overline{3} = \overline{21} = \overline{1}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 08.08.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Leopold_Gast,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
Wenn ich das jetzt besser verstehe, kommen in eine Einheitengruppe immer die Elemente, die ich durch Multiplikation auf ein Element in der Gruppe 1 bringen kann, und die 1 ist immer ein Element der Einheitengruppe - stimmt das ?
Was bedeutet "teilerfremd" ?
> 1,10 teilerfremd
> 2,10 nicht teilerfremd
Kommt man auf ein solches Element wie hier die 3 nur durch Probieren ?
> zueinander. Die Gruppe ist zyklisch von der Ordnung 4. Ein
> erzeugendes Element ist z.B. [mm]\overline{3}[/mm]:
> [mm]\overline{3}^1 = \overline{3}[/mm]
> [mm]\overline{3}^2 = \overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9}[/mm]
> [mm]\overline{3}^3 = \overline{3}^2 \cdot \overline{3} = \overline{9} \cdot \overline{3} = \overline{27} = \overline{7}[/mm]
> [mm]\overline{3}^4 = \overline{3}^3 \cdot \overline{3} = \overline{7} \cdot \overline{3} = \overline{21} = \overline{1}[/mm]
Danke und Gruss, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mi 08.08.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Susanne!
> Wenn ich das jetzt besser verstehe, kommen in eine
> Einheitengruppe immer die Elemente, die ich durch
> Multiplikation auf ein Element in der Gruppe 1 bringen
> kann, und die 1 ist immer ein Element der Einheitengruppe -
> stimmt das ?
besser: ... durch Multiplikation in dem betrachteten Ring ...
Etwas allgemeiner: Du hast einen (kommutativen) Ring mit 1. Dann sind die Einheiten diejenigen Elemente, die
- multiplikativ invertierbar sind
oder gleichwertig
- die 1 teilen.
In Matrizenringen kann man auch Einheiten suchen, z. B. in M(2, Z). Der ist allerdings nicht kommutativ.
> Was bedeutet "teilerfremd" ?
> > 1,10 teilerfremd
> > 2,10 nicht teilerfremd
Dieses 'teilerfremd' bezieht sich auf ganze Zahlen. Da bedeutet es, daß sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.
> Kommt man auf ein solches Element wie hier die 3 nur durch
> Probieren ?
Bei kleinen Zahlen geht das am schnellsten. Bei richtig großen Zahlen hilft der Euklidische Algorithmus. Und bei Matrizen muß man Gleichungen lösen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 08.08.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Hilfe !
Leider habe ich immer noch nicht alles verstanden:
> Dieses 'teilerfremd' bezieht sich auf ganze Zahlen. Da
> bedeutet es, daß sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1
> haben.
Die 2 oder die 5 haben doch auch nur die 1 als Teiler ?
Nochmals vielen Dank und Gruss nach Harburg, Susanne.
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> Leider habe ich immer noch nicht alles verstanden:
>
> > Dieses 'teilerfremd' bezieht sich auf ganze Zahlen. Da
> > bedeutet es, daß sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1
> > haben.
> Die 2 oder die 5 haben doch auch nur die 1 als Teiler ?
Hallo,
klar!
Bloß für die Fragestellung interessiert das nicht.
Du suchtest doch die Einheiten des Restklassenringes modulo 10, und um die zu finden, schaust Du nach, welche der Zahlen
1,2,...,8, 9 teilerfrend zu 10 sind.
Wenn der Tag kommt, an welchem Du die Einheiten des restklassenringes mod 12 suchst, guckst Du, welche der Zahlen
1,2,...,10,11 teilerfremd zu 12 sind.
Suchst Du die Einheiten des Restklassenringes mod 13, wirst Du eine Überraschung erleben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 08.08.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden !
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