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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und K ein Körper.Man bestimme die Einheitengruppe des Ringes [mm] R=\{A \in \in M_{n}(K), A ist Diagonalmatrix\}. [/mm] |
Hallo,
Also die Matrizen sehen doch so aus A [mm] \in \pmat{ r_{1} & 0 & 0 \\ 0 & r_{2} & 0 \\ 0 & 0 & r_{3} }.
[/mm]
Die Definition der Einheitengruppe ist folgende.Ist U eine Teilmenge von R (Ring) so ist [mm] U(R)=\{r \in \IR; r ist invertierbar\} [/mm] die Einheitengruppe.
Also muss ich quasi überprüfen,welche A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] invertierbar sind.
Eine Matrix ist invertierbar,falls A*S=S*A=1, also wenn es ein Links- und ein Rechtsinverses gibt.
Also hab ich mal eine Matrix S [mm] \in M_{n}(K) [/mm] genommen, [mm] S=\pmat{ s_{1} & 0 & 0 \\ 0 & s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & s_{3} }.
[/mm]
Dann rechne ich [mm] A*S=\pmat{ r_{1}*s_{1} & 0 & 0 \\ 0 & r_{2}*s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & r_{3}*s_{3} }=S*A=\pmat{ s_{1}*r_{1} & 0 & 0 \\ 0 & s_{2}*r_{2} & 0 \\ 0 & 0 & s_{3}*r_{3} }.
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen,dass [mm] r_{1}*s_{1}=1, r_{2}*s_{2}=1, r_{3}*s_{3}=1,....
[/mm]
Aber da weiß ich nicht genau,wie ich das zeigen soll.Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:01 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Seien n [mm]\in \IN[/mm] und K ein Körper.Man bestimme die
> Einheitengruppe des Ringes [mm]R=\{A \in \in M_{n}(K), A ist Diagonalmatrix\}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> Also die Matrizen sehen doch so aus A [mm]\in \pmat{ r_{1} & 0 & 0 \\ 0 & r_{2} & 0 \\ 0 & 0 & r_{3} }.[/mm]
Im Spezialfall $n=3$ ja, sonst hast du natürlich $nxn$-Matrizen.
>
> Die Definition der Einheitengruppe ist folgende.Ist U eine
> Teilmenge von R (Ring) so ist [mm]U(R)=\{r \in \IR; r ist invertierbar\}[/mm]
> die Einheitengruppe.
>
> Also muss ich quasi überprüfen,welche A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> invertierbar sind.
>
> Eine Matrix ist invertierbar,falls A*S=S*A=1, also wenn es
> ein Links- und ein Rechtsinverses gibt.
>
> Also hab ich mal eine Matrix S [mm]\in M_{n}(K)[/mm] genommen,
> [mm]S=\pmat{ s_{1} & 0 & 0 \\ 0 & s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & s_{3} }.[/mm]
>
> Dann rechne ich [mm]A*S=\pmat{ r_{1}*s_{1} & 0 & 0 \\ 0 & r_{2}*s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & r_{3}*s_{3} }=S*A=\pmat{ s_{1}*r_{1} & 0 & 0 \\ 0 & s_{2}*r_{2} & 0 \\ 0 & 0 & s_{3}*r_{3} }.[/mm]
>
> Jetzt muss ich zeigen,dass [mm]r_{1}*s_{1}=1, r_{2}*s_{2}=1, r_{3}*s_{3}=1,...[/mm]
>
> Aber da weiß ich nicht genau,wie ich das zeigen soll.Kann
> mir da jemand weiterhelfen?
Du bist eigentlich schon ziemlich weit, es fehlt nur noch ein letzter Schritt. Wichtig ist, dass du beachtest dass deine Matrixeinträge aus einem Körper sind. Du nimmst also die Matrix mit [mm] $r_1, r_2, r_3,..., r_n$ [/mm] auf der Diagonalen als gegeben an und suchst die dazu Inverse S mit [mm] $s_1, s_2, s_3,..., s_n$ [/mm] auf der Diagonalen. Du suchst also [mm] $s_1, s_2, s_3,...,s_n$ [/mm] so, dass, wie du schon geschrieben hast, [mm]r_{1}*s_{1}=1, r_{2}*s_{2}=1, r_{3}*s_{3}=1,..., r_n*s_n=1[/mm] erfüllt ist. Es gibt eigentlich nur eine Zahl, die die [mm] $r_i$ [/mm] nicht sein dürfen.
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du bist eigentlich schon ziemlich weit, es fehlt nur noch
> ein letzter Schritt. Wichtig ist, dass du beachtest dass
> deine Matrixeinträge aus einem Körper sind. Du nimmst
> also die Matrix mit [mm]r_1, r_2, r_3,..., r_n[/mm] auf der
> Diagonalen als gegeben an und suchst die dazu Inverse S mit
> [mm]s_1, s_2, s_3,..., s_n[/mm] auf der Diagonalen. Du suchst also
> [mm]s_1, s_2, s_3,...,s_n[/mm] so, dass, wie du schon geschrieben
> hast, [mm]r_{1}*s_{1}=1, r_{2}*s_{2}=1, r_{3}*s_{3}=1,..., r_n*s_n=1[/mm]
> erfüllt ist. Es gibt eigentlich nur eine Zahl, die die [mm]r_i[/mm]
> nicht sein dürfen.
>
Die [mm] r_{i} [/mm] dürfen nicht 0 sein.Kann ich dann schreiben,dass die Einheitengrippe U(R)={A [mm] \in M_{n}(K);...}.Wie [/mm] schreib ich denn für das ... hin,dass die [mm] r_{i} [/mm] nicht 0 sein dürfen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lippel |
z.B. [mm] $U(R)=\{A=(a)_{ij} \in R\;|\;(a)_{ii}\not=0 \;\forall i\in\{1,...,n\}\}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Man bestimme die Einheitengruppe von [mm] R=\{A \in M_{n}(K); A ist obere Dreiecksmatrix\}. [/mm] |
Ich hab versucht die b) zu machen.
Eine obere Dreiecksmatrix A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] sieht doch so aus: [mm] A=\pmat{ a_{11} & bla \\ 0 & a_{nn} } [/mm] und es muss wieder gelten: A*S=S*A=1
Also [mm] A*S=\pmat{ a_{11} & bla \\ 0 & a_{nn} }*=\pmat{ s_{11} & bla \\ 0 & s_{nn} }=\pmat{ a_{11}*s_{11} & a_{11}bla+...+bla*s_{11} \\ 0 & a_{nn}*s_{11} } [/mm] und das muss gleich 1 sein,also
[mm] \pmat{ a_{11} & bla \\ 0 & a_{nn} }*=\pmat{ s_{11} & bla \\ 0 & s_{nn} }=\pmat{ a_{11}*s_{11} & a_{11}bla+...+bla*s_{11} \\ 0 & a_{nn}*s_{11} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
d.h [mm] a_{ii} [/mm] muss immer ungleich 0 sein.Aber was ist mit [mm] a_{11}bla+...+bla*s_{11}, [/mm] das muss ja =0 sein, wie schreibe ich das dann auf? Also [mm] U(R)=\{A=(a)_{ij} \in R\;|\;(a)_{ii}\not=0 \;\forall i\in\{1,...,n\}\}. [/mm] Wie baue ich hier das [mm] a_{11}bla+...+bla*s_{11}=0 [/mm] ein?
lg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:19 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Ich hoffe es ist ok wenn ich einfach noch ne Frage an deine Anhänge. Ich weiß nämlich nicht ob das eine mögliche Lösung ist aber für mich klingt es sinnvol:
Also laut Herrn H. ist A*x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 [mm] \gdw [/mm] A ist invertierbar (satz4.20 zusatz info für mandy)
Das heißt aber doch das die Spalten in der Matrix linearunabhängig sein müssen damit A invertierbar ist. Und das ist doch genau dann der Fall wenn A in Zeilenstufenform ist also obere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen ungleich 0.
Das ist glaub ich aber mehr Argumentation als Beweis :(
Kann man das villeicht in einen Beweis umsetzten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ich hoffe es ist ok wenn ich einfach noch ne Frage an deine
> Anhänge. Ich weiß nämlich nicht ob das eine mögliche
> Lösung ist aber für mich klingt es sinnvol:
>
> Also laut Herrn H. ist A*x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 [mm]\gdw[/mm] A ist
> invertierbar (satz4.20 zusatz info für mandy)
>
> Das heißt aber doch das die Spalten in der Matrix
> linearunabhängig sein müssen damit A invertierbar ist.
> Und das ist doch genau dann der Fall wenn A in
> Zeilenstufenform ist also obere Dreiecksmatrix mit
> Diagonaleinträgen ungleich 0.
> Das ist glaub ich aber mehr Argumentation als Beweis :(
> Kann man das villeicht in einen Beweis umsetzten ?
Hi,
hab deine Frage erst jetzt gesehen.Danke für die Zusatzinfo.
Eigentlich hast du recht,das ist eine logische Begründung,aber ob es wirklich als Beweis dient..hmmm... da bin ich mir auch nicht ganz sicher.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ich hoffe es ist ok wenn ich einfach noch ne Frage an deine
> Anhänge. Ich weiß nämlich nicht ob das eine mögliche
> Lösung ist aber für mich klingt es sinnvol:
>
> Also laut Herrn H. ist A*x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 [mm]\gdw[/mm] A ist
> invertierbar (satz4.20 zusatz info für mandy)
>
> Das heißt aber doch das die Spalten in der Matrix
> linearunabhängig sein müssen damit A invertierbar ist.
> Und das ist doch genau dann der Fall wenn A in
> Zeilenstufenform ist also obere Dreiecksmatrix mit
> Diagonaleinträgen ungleich 0.
Mir ist grad nochwas eingefallen.Die Diagonaleinträge müssen zwar sein,aber was ist mit den Einträgen oben rechts,die müssen doch alle 0 sein,siehe meine Frage, sonst ist es keine Einheitsmatrix.
> Das ist glaub ich aber mehr Argumentation als Beweis :(
> Kann man das villeicht in einen Beweis umsetzten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 21.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> b) Man bestimme die Einheitengruppe von [mm]R=\{A \in M_{n}(K); A ist obere Dreiecksmatrix\}.[/mm]
>
> Ich hab versucht die b) zu machen.
> Eine obere Dreiecksmatrix A [mm]\in M_{n}(K)[/mm] sieht doch so
> aus: [mm]A=\pmat{ a_{11} & bla \\ 0 & a_{nn} }[/mm] und es muss
> wieder gelten: A*S=S*A=1
>
> Also [mm]A*S=\pmat{ a_{11} & bla \\ 0 & a_{nn} }*=\pmat{ s_{11} & bla \\ 0 & s_{nn} }=\pmat{ a_{11}*s_{11} & a_{11}bla+...+bla*s_{11} \\ 0 & a_{nn}*s_{11} }[/mm]
> und das muss gleich 1 sein,also
>
> [mm]\pmat{ a_{11} & bla \\ 0 & a_{nn} }*=\pmat{ s_{11} & bla \\ 0 & s_{nn} }=\pmat{ a_{11}*s_{11} & a_{11}bla+...+bla*s_{11} \\ 0 & a_{nn}*s_{11} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> d.h [mm]a_{ii}[/mm] muss immer ungleich 0 sein.Aber was ist mit
> [mm]a_{11}bla+...+bla*s_{11},[/mm] das muss ja =0 sein, wie schreibe
> ich das dann auf? Also [mm]U(R)=\{A=(a)_{ij} \in R\;|\;(a)_{ii}\not=0 \;\forall i\in\{1,...,n\}\}.[/mm]
> Wie baue ich hier das [mm]a_{11}bla+...+bla*s_{11}=0[/mm] ein?
Das musst du gar nicht einbauen. Du weißt ja, dass eine Matrix dann invertierbar ist, wenn sie vollen Rang hat. Das ist bei oberen Dreiecksmatrizen genau dann der Fall, wenn die Diagonaleinträge nicht null sind. Hast du jetzt also eine beliebige obere Dreiecksmatrix, die diese Bedinugng, also vollen Rang, erfüllt, dann weißt du auch sicher, dass es eine inverse Matrix geben muss.
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass diese Inverse auch wieder obere Dreieckmatrix ist, sonst liegt sie ja gar nicht in der betrachteten Menge
[mm]R=\{A \in M_{n}(K); [/mm]A ist obere Dreiecksmatrix[mm]\}.[/mm] drin. Wie machst du das? Steht bei dir fast schon drin.
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Das musst du gar nicht einbauen. Du weißt ja, dass eine
> Matrix dann invertierbar ist, wenn sie vollen Rang hat. Das
> ist bei oberen Dreiecksmatrizen genau dann der Fall, wenn
> die Diagonaleinträge nicht null sind. Hast du jetzt also
> eine beliebige obere Dreiecksmatrix, die diese Bedinugng,
> also vollen Rang, erfüllt, dann weißt du auch sicher,
> dass es eine inverse Matrix geben muss.
> Jetzt musst du nur noch zeigen, dass diese Inverse auch
> wieder obere Dreieckmatrix ist, sonst liegt sie ja gar
> nicht in der betrachteten Menge
> [mm]R=\{A \in M_{n}(K); [/mm]A ist obere Dreiecksmatrix[mm]\}.[/mm] drin.
> Wie machst du das? Steht bei dir fast schon drin.
Ach echt? Muss ich vielleicht S*A rechnen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 21.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Du hast ja schon in deinem ersten Beitrag gezeigt, dass das Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen wieder eine obere Dreiecksmatrix ist.
Nehme einfach mal an das Inverse [mm] $A^{-1}$ [/mm] einer oberen Dreiecksmatrix A (welche invertierbar ist, also wie wir schon rausgefunden haben, keine Nullen auf der Diagonalen hat) wäre keine obere Dreiecksmatrix, d.h. es gibt ein Element unterhalb der Diagonalen das ungleich null ist. Dies kannst du zu einem Widerspruch führen, indem du zeigst, dass das Produkt [mm] $AA^{-1}$ [/mm] auf keinen Fall die Einheitsmatrix wird, noch nichtmal eine obere Dreiecksmatrix.
Also führt die Annahme, die Inverse wäre keine obere Dreiecksmatrix, zu einem Widerspruch. Da wir aber schon rausgefunden haben, dass eine Inverse existiert, muss sie dann auch obere Dreiecksmatrix sein.
So jetzt musst du das nur noch etwas mathematischer formulieren und ausführen.
LG Lippel
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