Einheitengruppe in Z[2^(1/3)] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte den injektiven Ringhomomorphismus [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) \hookrightarrow\ \IR [/mm] x [mm] \IC [/mm] mit [mm] \wurzel[3]{2}\mapsto [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{2}, e^{(2\pi*i)/3}* \wurzel[3]{2}). [/mm] Dafür schreiben wir x -> (x', x''). Für x [mm] \in \IQ( \wurzel[3]{2}), [/mm] definieren wir die ''Länge'' [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] durch [mm] (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^2 [/mm] = [mm] |x'|^2 [/mm] + [mm] 2*|x''|^2 [/mm] . Sei [mm] \eta [/mm] = -1 + [mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
(a) Seien a,b,c [mm] \in \IQ [/mm] und sei x = [mm] a+b*\wurzel[3]{2}+c*\wurzel[3]{4}. [/mm] Zeige, dass [mm] (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^2 [/mm] = [mm] 3*(a^2+b^2*\wurzel[3]{4}+2c^2*\wurzel[3]{2}
[/mm]
(b) Zeige, dass [mm] \eta' [/mm] eine reelle Zahl ist, die 1/4 < [mm] \eta' [/mm] < 1 erfüllt. Sei u eine beliebige Einheit von [mm] \IZ[\wurzel[3]{2}]. [/mm] Zeige, dass für ein k [mm] \in \IZ, [/mm] entweder die Einheit [mm] \epsilon=\pm u\eta^k [/mm] oder [mm] \epsilon=\pm u^{-1}*\eta^k [/mm] die Bedingung 1/2 < [mm] \epsilon' [/mm] < 1 erfüllt.
(c) Sei [mm] \epsilon [/mm] eine Einheit aus [mm] \IZ[\wurzel[3]{2}], [/mm] die 1/2 < [mm] \epsilon [/mm] ' < 1 erfüllt. Zeige dass [mm] |\epsilon ''|^2 [/mm] < 2 und dann [mm] (\parallel \epsilon \parallel)^2 [/mm] < 5. Benutze (a) um zu zeigen, dass [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=182280&start=0&lps=1347790#v1347790
Also die Aufgabe (a) habe ich hingekriegt (meine Lösung steht auch unter dem Link da).
Bei Aufgabe (b) habe ich den ersten Teil auch hinbekommen zu zeigen, dass [mm] \eta' [/mm] eine reelle Zahl ist, die 1/4 < [mm] \eta' [/mm] < 1 erfüllt. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie ich weitermachen soll? Ich hab da echt keinen Clou...irgendwie muss man ja da jetzt die Einheiten charakterisieren oder?
Die Aufgabe zielt übrigens insgesamt darauf ab, zu zeigen, dass die Einheitengruppe des Rings [mm] \IZ[\wurzel[3]{2}] [/mm] erzeugt wird von -1 und [mm] \eta.
[/mm]
Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen würde :)
lg BambiPunkt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:32 Mi 05.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin BambiPunkt!
> Betrachte den injektiven Ringhomomorphismus
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2}) \hookrightarrow\ \IR[/mm] x [mm]\IC[/mm] mit
> [mm]\wurzel[3]{2}\mapsto[/mm] ( [mm]\wurzel[3]{2}, e^{(2\pi*i)/3}* \wurzel[3]{2}).[/mm]
> Dafür schreiben wir x -> (x', x''). Für x [mm]\in \IQ( \wurzel[3]{2}),[/mm]
> definieren wir die ''Länge'' [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] durch
> [mm](\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^2[/mm] = [mm]|x'|^2[/mm] + [mm]2*|x''|^2[/mm] . Sei [mm]\eta[/mm] =
> -1 + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> (a) Seien a,b,c [mm]\in \IQ[/mm] und sei x =
> [mm]a+b*\wurzel[3]{2}+c*\wurzel[3]{4}.[/mm] Zeige, dass [mm](\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel)^2[/mm] = [mm]3*(a^2+b^2*\wurzel[3]{4}+2c^2*\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> (b) Zeige, dass [mm]\eta'[/mm] eine reelle Zahl ist, die 1/4 < [mm]\eta'[/mm]
> < 1 erfüllt. Sei u eine beliebige Einheit von
> [mm]\IZ[\wurzel[3]{2}].[/mm] Zeige, dass für ein k [mm]\in \IZ,[/mm]
> entweder die Einheit [mm]\epsilon=\pm u\eta^k[/mm] oder [mm]\epsilon=\pm u^{-1}*\eta^k[/mm]
> die Bedingung 1/2 < [mm]\epsilon'[/mm] < 1 erfüllt.
>
> (c) Sei [mm]\epsilon[/mm] eine Einheit aus [mm]\IZ[\wurzel[3]{2}],[/mm] die
> 1/2 < [mm]\epsilon[/mm] ' < 1 erfüllt. Zeige dass [mm]|\epsilon ''|^2[/mm] <
> 2 und dann [mm](\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^2[/mm] < 5. Benutze (a) um zu
> zeigen, dass [mm]\epsilon[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1
>
> Also die Aufgabe (a) habe ich hingekriegt (meine Lösung
> steht auch unter dem Link da).
> Bei Aufgabe (b) habe ich den ersten Teil auch hinbekommen
> zu zeigen, dass [mm]\eta'[/mm] eine reelle Zahl ist, die 1/4 < [mm]\eta'[/mm]
> < 1 erfüllt. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben,
> wie ich weitermachen soll? Ich hab da echt keinen
> Clou...irgendwie muss man ja da jetzt die Einheiten
> charakterisieren oder?
Du weisst ja, dass fuer [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \pm [/mm] u [mm] \eta^k$ [/mm] gilt [mm] $\epsilon' [/mm] = [mm] \pm [/mm] u' [mm] (\eta')^k$.
[/mm]
Sei das [mm] $\pm$ [/mm] so gewaehlt dass [mm] $\pm [/mm] u' > 0$ ist (und damit [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$). Dann ist $1/2 < [mm] \epsilon' [/mm] < 2$ aequivalent zu [mm] $-\log [/mm] 2 < [mm] \log (\pm [/mm] u') + k [mm] \log \eta' [/mm] < [mm] \log [/mm] 2$. Da $-2 [mm] \log [/mm] 2 < [mm] \log \eta' [/mm] < 0$ ist, kannst du also $k$ passend waehlen, dass [mm] $-\log [/mm] 2 < [mm] \log (\pm [/mm] u') + k [mm] \log \eta' [/mm] < [mm] \log [/mm] 2$ erfuellt ist.
Damit kannst du jetzt (b) abschliessen.
Bei (c) musst du verwenden, dass die Norm einer Einheit gleich [mm] $\pm [/mm] 1$ ist, und du musst wissen wie man die Norm durch die Einbettungen des Zahlkoerpers in [mm] $\IC$ [/mm] beschreiben kann. Damit ist es einfach.
> Die Aufgabe zielt übrigens insgesamt darauf ab, zu zeigen,
> dass die Einheitengruppe des Rings [mm]\IZ[\wurzel[3]{2}][/mm]
> erzeugt wird von -1 und [mm]\eta.[/mm]
Das hab ich mir schon gedacht ;)
LG Felix
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Erst mal, Vielen Vielen Dank, dass du mir hilfst! Ich dachte schon die Aufgabe lös ich im Leben nicht mehr!
Dann zu (b). Ich verstehe da nicht ganz, warum du geschrieben hast:
$1/2 < [mm] \epsilon' [/mm] < 2$. Ich soll doch eigentlich zeigen, dass $1/2 < [mm] \epsilon' [/mm] < 1$ und das wäre dann äquivalent zu $ [mm] -\log [/mm] 2 < [mm] \log (\pm [/mm] u') + k [mm] \log \eta' [/mm] < [mm] \log [/mm] 1 $. Also dann gilt ja immer noch [mm] $\log \eta' [/mm] < 0$ aber es gilt nicht: $- [mm] \log [/mm] 2 < [mm] \log \eta'$ [/mm] Hab ich da irgendwas übersehen?
Und bei (c) hab ich erst mal noch eine Frage, bzw. eine Korrektur
- Das [mm] \varepsilon [/mm] ist jetzt wieder beliebig oder? Also das ist nicht [mm] \pm u\eta^k [/mm] oder [mm] \pm u^{-1}*\eta^k?
[/mm]
- Und das x aus [mm] (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^2 [/mm] < 5 soll natürlich eigentlich ein [mm] \varepsilon [/mm] sein. Entschuldigung.
Also, dass die Norm einer Einheit gleich [mm] $\pm [/mm] 1$ ist, haben wir gerade in Algebra 2 gezeigt, da hab ich also nen vollständigen Beweis, ich denke aber, dass ich das in meinem Vortrag (zu dem die Aufgabe gehört) auch als gegeben vorraussetzten kann (der Beweis, den wir gemacht haben, benutzt auch ein paar Begriffe, von denen ich nicht ganz sicher bin, dass alle die in dem Seminar sitzen, die schon gehört haben, denn eigentlich ist der Vortrag vom Thema her nicht so direkt algebraisch).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 05.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Erst mal, Vielen Vielen Dank, dass du mir hilfst! Ich
> dachte schon die Aufgabe lös ich im Leben nicht mehr!
>
> Dann zu (b). Ich verstehe da nicht ganz, warum du
> geschrieben hast:
> [mm]1/2 < \epsilon' < 2[/mm]. Ich soll doch eigentlich zeigen, dass
> [mm]1/2 < \epsilon' < 1[/mm] und das wäre dann äquivalent zu [mm]-\log 2 < \log (\pm u') + k \log \eta' < \log 1 [/mm].
> Also dann gilt ja immer noch [mm]\log \eta' < 0[/mm] aber es gilt
> nicht: [mm]- \log 2 < \log \eta'[/mm] Hab ich da irgendwas
> übersehen?
Du hast was uebersehen :)
Es gibt ja zwei Faelle. Du sollst zeigen, dass du entweder [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \pm [/mm] u [mm] \eta^k$ [/mm] oder [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \pm u^{-1} \eta^k$.
[/mm]
Wenn du also [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \pm [/mm] u [mm] \eta^k$ [/mm] hast mit $1/2 < [mm] \epsilon' [/mm] < 2$, dann kannst du es auf einen der beiden Faelle zurueckfuehren, die du zum Schluss haben willst, indem du [mm] $\epsilon$ [/mm] oder [mm] $\epsilon^{-1}$ [/mm] betrachtest.
> Und bei (c) hab ich erst mal noch eine Frage, bzw. eine
> Korrektur
>
> - Das [mm]\varepsilon[/mm] ist jetzt wieder beliebig oder? Also das
> ist nicht [mm]\pm u\eta^k[/mm] oder [mm]\pm u^{-1}*\eta^k?[/mm]
Ja, [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist nun beliebig. Im Endeffekt wird es auf das [mm] $\epsilon$ [/mm] aus (b) angewendet, aber die Aussage soll hier erstmal fuer eine allgemeine Einheit gezeigt werden.
> - Und das x aus [mm](\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^2[/mm] < 5 soll
> natürlich eigentlich ein [mm]\varepsilon[/mm] sein.
> Entschuldigung.
Kein Problem. Hab ich mir schon gedacht ;)
> Also, dass die Norm einer Einheit gleich [mm]\pm 1[/mm] ist, haben
> wir gerade in Algebra 2 gezeigt, da hab ich also nen
> vollständigen Beweis, ich denke aber, dass ich das in
> meinem Vortrag (zu dem die Aufgabe gehört) auch als
> gegeben vorraussetzten kann (der Beweis, den wir gemacht
> haben, benutzt auch ein paar Begriffe, von denen ich nicht
> ganz sicher bin, dass alle die in dem Seminar sitzen, die
> schon gehört haben, denn eigentlich ist der Vortrag vom
> Thema her nicht so direkt algebraisch).
Ich wuerd die Aussage trotzdem verwenden. Du brauchst ja auch nur [mm] $\epsilon$ [/mm] Einheit [mm] $\Rightarrow N(\epsilon) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$, und der Teil ist sehr einfach (du brauchst nur, dass $N$ multiplikativ ist).
LG Felix
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Ok also ich glaube bei (b) muss ich nochmal drüber schlafen...irgendwie hab ich da grad ein Brett vorm Kopf... >.<
Dann aber zu (c). Also bei uns war die Aussage so:
"Sei K ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n und a eine Einheit in [mm] O_k (O_k [/mm] ist der Ring der ganzen Zahlen von K), dann gilt: N(a) = [mm] \pm [/mm] 1."
So, in [mm] (\Rightarrow)-Richtung, [/mm] war unser Beweis: Wenn a [mm] \in O_k [/mm] eine Einheit ist, dann gibt es ein b mit a*b=1. Also: N(a)*N(b)=N(a*b)=N(1)=1.
Da N(a), N(b) [mm] \in \IZ [/mm] folgt daraus N(a) = [mm] \pm [/mm] 1.
Ok, wir haben vorrausgesetzt, dass N mulitplikativ ist, aber der Beweis dürfte auch nicht so schwer sein, oder?
Sei [mm] \omega_k [/mm] : K [mm] \to \IC [/mm] (k=1,2,...,n) der n eindeutige Monomorphismus von K nach [mm] \IC. [/mm] Dann gilt: N(a*b) = [mm] \produkt_{k=1}^{n} \omega_k(a*b) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} (\omega_k(a)*\omega_k(b))=(\produkt_{k=1}^{n} \omega_k(a))*(\produkt_{k=1}^{n} \omega_k(b))= [/mm] N(a)*N(b)
Da ich im Moment noch nicht so ganz weiß, wie ich [mm] |\epsilon''|^2 [/mm] < 2 zeigen soll, hab ich mich mal mit den Aussagen, die daraus folgen beschäftigt:
Klar ist mir inzwischen, dass wenn ich gezeigt habe, dass [mm] |\epsilon''|^2 [/mm] < 2 ist, dann gilt dass [mm] 2*|\epsilon''|^2 [/mm] < 4. Und wir wissen ja auch, dass [mm] \epsilon' [/mm] < 1. Also gilt [mm] (||\epsilon||)^2 [/mm] = [mm] |\epsilon'|^2 [/mm] + [mm] 2*|\epsilon''|^2 [/mm] < 5.
Aber was ich jetzt nicht verstehe ist: [mm] \epsilon [/mm] ist eine Einheit in [mm] \IZ[\wurzel[3]{2}]. [/mm] Also kann ich sie doch schreiben, als [mm] a+b*\wurzel[3]{2}+c*\wurzel[3]{4} [/mm] mit a,b,c aus [mm] \IZ. [/mm] Dann ist [mm] (\parallel\epsilon\parallel)^2 [/mm] = [mm] 3*(a^2+b^2*\wurzel[3]{4}+2c^2*\wurzel[3]{2}). [/mm] Aber da die Norm einer Einheit gleich [mm] \pm [/mm] 1, bzw. die Norm zum Quadrat gleich 1 ist gilt auch:
[mm] 3*(a^2+b^2*\wurzel[3]{4}+2c^2*\wurzel[3]{2}) [/mm] = 1. Das ist aber für a,b,c aus [mm] \IZ [/mm] nicht lösbar, oder?
Irgendwie bin ich jetzt verwirrt^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 06.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Dann aber zu (c). Also bei uns war die Aussage so:
> "Sei K ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n und a eine
> Einheit in [mm]O_k (O_k[/mm] ist der Ring der ganzen Zahlen von K),
> dann gilt: N(a) = [mm]\pm[/mm] 1."
ich glaube eher, dass es eine Aequivalenz war und keine Implikation.
> So, in [mm](\Rightarrow)-Richtung,[/mm] war unser Beweis: Wenn a
> [mm]\in O_k[/mm] eine Einheit ist, dann gibt es ein b mit a*b=1.
> Also: N(a)*N(b)=N(a*b)=N(1)=1.
> Da N(a), N(b) [mm]\in \IZ[/mm] folgt daraus N(a) = [mm]\pm[/mm] 1.
Genau.
> Ok, wir haben vorrausgesetzt, dass N mulitplikativ ist,
> aber der Beweis dürfte auch nicht so schwer sein, oder?
Nein, du hast ihn ja gefuehrt:
> Sei [mm]\omega_k[/mm] : K [mm]\to \IC[/mm] (k=1,2,...,n) der n eindeutige
> Monomorphismus von K nach [mm]\IC.[/mm] Dann gilt: N(a*b) =
> [mm]\produkt_{k=1}^{n} \omega_k(a*b)[/mm] = [mm]\produkt_{k=1}^{n} (\omega_k(a)*\omega_k(b))=(\produkt_{k=1}^{n} \omega_k(a))*(\produkt_{k=1}^{n} \omega_k(b))=[/mm]
> N(a)*N(b)
>
> Da ich im Moment noch nicht so ganz weiß, wie ich
> [mm]|\epsilon''|^2[/mm] < 2 zeigen soll, hab ich mich mal mit den
> Aussagen, die daraus folgen beschäftigt:
Das ist auch nicht so schwer. Du weisst ja [mm] $N(\epsilon) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$, also [mm] $|N(\epsilon)| [/mm] = 1$.
Weiterhin ist [mm] $N(\epsilon) [/mm] = [mm] \omega_1(\epsilon) \omega_2(\epsilon) \omega_3(\epsilon)$, [/mm] und [mm] $\omega_1(\epsilon) [/mm] = [mm] \epsilon'$, $\omega_2(\epsilon) [/mm] = [mm] \epsilon''$ [/mm] und [mm] $\omega_3(\epsilon) [/mm] = [mm] \overline{\epsilon''}$. [/mm] Damit kannst du jetzt [mm] $|\epsilon'|$ [/mm] und [mm] $|\epsilon''|^2$ [/mm] in Relation zu 1 setzen.
> Klar ist mir inzwischen, dass wenn ich gezeigt habe, dass
> [mm]|\epsilon''|^2[/mm] < 2 ist, dann gilt dass [mm]2*|\epsilon''|^2[/mm] <
> 4. Und wir wissen ja auch, dass [mm]\epsilon'[/mm] < 1. Also gilt
> [mm](||\epsilon||)^2[/mm] = [mm]|\epsilon'|^2[/mm] + [mm]2*|\epsilon''|^2[/mm] < 5.
Genau.
> Aber was ich jetzt nicht verstehe ist: [mm]\epsilon[/mm] ist eine
> Einheit in [mm]\IZ[\wurzel[3]{2}].[/mm] Also kann ich sie doch
> schreiben, als [mm]a+b*\wurzel[3]{2}+c*\wurzel[3]{4}[/mm] mit a,b,c
> aus [mm]\IZ.[/mm] Dann ist [mm](\parallel\epsilon\parallel)^2[/mm] =
> [mm]3*(a^2+b^2*\wurzel[3]{4}+2c^2*\wurzel[3]{2}).[/mm]
Genau.
> Aber da die Norm einer Einheit gleich [mm]\pm[/mm] 1, bzw. die Norm
> zum Quadrat gleich 1 ist gilt auch:
> [mm]3*(a^2+b^2*\wurzel[3]{4}+2c^2*\wurzel[3]{2})[/mm] = 1.
Nein! Die Norm $N$, die [mm] $N(\epsilon) [/mm] = 1$ erfuellt, hat *nichts* mit der "Norm" [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] zu tun, die in der Aufgabenstellung definiert wird! (Sie wird da ja auch "Laenge" genannt.)
Du weisst [mm] $N(\epsilon) [/mm] = 1$, woraus du [mm] $\|\epsilon\| [/mm] < 5$ folgern kannst. Und jetzt musst du mit (a) zusammen damit zeigen, dass [mm] $\epsilon$ [/mm] nur ganz wenige potentielle Werte annehmen kann.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Do 06.06.2013 | | Autor: | BambiPunkt |
Hallo Felix,
ich weiß das gehört sich absolut nicht und ich entschuldige mich schonmal im Voraus, aber ich bin gerade verzweifelt! Der Vortrag zu dem die Aufgabe gehört ist Morgen fällig und ich habe alles fertig, bis eben auf diese Aufgabe.
Ich habe die Frage ja schon am 26.5. auf dem Matheplaneten gestellt, eigentlich sehr zuversichtlich, dass ich das mit Hilfe, bis morgen schaffe zu lösen, und da mir dort sehr lange niemand geantwortet hat, habe ich sie dann hier (wohl etwas zu spät) auch noch reingestellt.
So und jetzt hab ich Panik. Weil ich bisher nur die (a) gelöst habe...schon mehr oder weniger verstehe, worauf man da so bei (b) bzw. (c) aus ist, aber das einfach nicht hinkriege. Ich habe jetzt auch von 12:15 bis 20:00 Uni und komme vorher nicht mehr dazu mich damit zu beschäftigen. Also äußere ich hier mal den (ich weiß absolut frevelhaften) Wunsch nach einer Lösung. Ich verspreche ich mach das auch nie wieder! Ich hab ja auch schon beim Matheplaneten viel gepostet und nie nach einer Lösung gefragt, auch wenn es dann eben gefühlt ewig gedauert hat drauf zu kommen, aber jetzt rennt mir leider die Zeit weg...
Du würdest mir sehr viel Zittern und eine Nachtschicht ersparen... *lieb guck und sich gleichzeitig schäm*
lg
BambiPunkt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Do 06.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
eine Loesung mag ich dir hier nicht hinschreiben - Prinzip ist Prinzip - aber zu c) solltest du in der Antwort jetzt hoffentlich soviele Informationen gefunden haben, dass du das selber noch loesen kannst.
Zu b) nochmal den Hinweis: zeige zuerst, dass du $k$ so waehlen kannst, dass mit [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \pm [/mm] u [mm] \eta^k$ [/mm] gilt $1/2 < [mm] \epsilon' [/mm] < 2$ und [mm] $\epsilon' \neq [/mm] 1$.
Ist nun [mm] $\epsilon' \in [/mm] (1/2, 1)$ so bist du fertig. Ist jedoch [mm] $\epsilon' \in [/mm] (1, 2)$, so gilt [mm] $(\epsilon')^{-1} \in [/mm] (1/2, 1)$, womit du [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \pm u^{-1} \eta^{-k}$ [/mm] nehmen kannst.
Ist es jetzt klarer?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 05.07.2013 | | Autor: | BambiPunkt |
So, also ich hatte jetzt Glück im Unglück würde ich sagen...ich hatte Pfeiffersches Drüsenfieber und lag jetzt erst mal nen Monat flach (ganz ehrlich man sollte manchmal vorsichtig sein mit seinen Wünschen). Jetzt rappel ich mich aber so langsam wieder auf und plane nächste Woche meinen Vortrag, dann (endlich!) zu halten. Ich hatte jetzt ja auch ein wenig Zeit, mich mit der Aufgabe zu beschäftigen und denke ich poste die Lösung, dann morgen oder übermorgen :)
Und nochmal entschuldigung, dass ich mich so lange nicht gemeldet hab, aber ich hatte Fieber und lag den ganzen Tag eigentlich nur im Bett...
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