Einheitsnormalenvektor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:12 Di 24.12.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
Ich habe eine Frage zu einem Satz in der Vorlesung:
Sei [mm] A\subseteq \IR^n [/mm] eine kompakte Menge mit glattem Rand. [mm] $\forall a\in [/mm] M [mm] \exists!$ [/mm] Vektor [mm] $\nu(a)\in$ [/mm] { v [mm] \in\IR^n: [/mm] v ist Normalenvektor zu [mm] \partial [/mm] A in a [mm] \}, [/mm] s.d. [mm] |\nu(a)|=1 [/mm] und [mm] a+\epsilon\nu(a)\notin [/mm] A [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] hinreichend klein. Das definiert das äußere Einheitsnormalenvektorfeld von A, [mm] \nu:\partial A\to\IR^n. [/mm]
Kann ich diesen Satz auch wie folgt verstehen:
Sei [mm] A\subseteq \IR^n [/mm] eine kompakte Menge mit glattem Rand. Dann gilt [mm] $\forall a\in [/mm] M [mm] \exists!$ [/mm] Vektor [mm] $\nu(a)\in$ [/mm] { v [mm] \in\IR^n: [/mm] v ist Normalenvektor zu [mm] \partial [/mm] A in a [mm] \}, [/mm] s.d. [mm] |\nu(a)|=1 [/mm] und [mm] a+\epsilon\nu(a)\notin [/mm] A [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] hinreichend klein. Das definiert das äußere Einheitsnormalenvektorfeld von A, [mm] \nu:\partial A\to\IR^n.
[/mm]
Wenn dem so wäre, dann könnte ich ja wie folgt vorgehen, um für eine gewisse kompakte Menge zu zeigen, dass sie keinen glatten Rand besitzt:
Ich zeige einfach, dass [mm] \nu(a) [/mm] für gewisse [mm] $a\in \partial [/mm] A$ nicht eindeutig ist. Daraus sollte ja dann [mm] \neg(A\subseteq \IR^n [/mm] eine kompakte Menge mit glattem [mm] Rand)\gdw(A\subseteq \IR^n [/mm] eine kompakte Menge ohne glatten Rand) folgen, da A ja kompakt war.
Ich zeige also [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow\neg [/mm] A, was ja bekanntlich äquivalent ist zu A [mm] \Rightarrow [/mm] B.
Sind meine Überlegungen richtig? Kann man so zeigen, dass eine gewisse kompakte Menge keinen glatten Rand hat?
Ich wünsche allen schöne Tage!
MfG Leukipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 28.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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