www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Einheitsscheibe
Einheitsscheibe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Einheitsscheibe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Mi 22.04.2009
Autor: ella87

Aufgabe
  Sei [mm]A = \{z \in \IC| \left| z \right|<1 \}[/mm] die Einheitsscheibe und [mm]a\in A[/mm]

Zeige, dass [mm] f: A \to A, f(z) = \bruch{z-a}{\bar a z -1}[/mm]   bijektiv ist und bestimme [mm]f \circ f [/mm]

zz: 1) f surjektiv
      2) f injektiv

zu 1): Sei [mm]z \in A [/mm] bel.     [mm]

[mm]f(z)=\bruch{z-a}{\bar a z -1}[/mm]
[mm] setzte z=u+iv[/mm] und [mm] a=x+iy[/mm]

[mm]f(z)=\bruch{(u+iv)-(x+iy)}{(x-iy)(u+iv)-1}=\bruch{(u-x)+i(v-y)}{(xu+yv)+i(xv-uy)-1}[/mm]

Hier komm ich leider nicht weiter. Der plan war den Bruch zu vereinfachen und den Betrag zu bestimmen, der dann in A liegen müsste....
Vielleicht hat je jemand einen netten Tipp für mich. Vielen lieben Dank :-)

        
Bezug
Einheitsscheibe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Mi 22.04.2009
Autor: fred97

Zur Injektivität:

Seien [mm] z_1, z_2 \in [/mm] A dann gilt (nachrechnen !!)

[mm] f(z_1) [/mm] = [mm] f(z_2) \gdw (|a|^2-1)z_1 [/mm] = [mm] (|a|^2-1)z_2 [/mm]

Wegen a [mm] \in [/mm] A hat man:

[mm] f(z_1) [/mm] = [mm] f(z_2) \gdw z_1=z_2 [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
Einheitsscheibe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mi 22.04.2009
Autor: ella87

$ [mm] f(z_1) [/mm] $ = $ [mm] f(z_2) \gdw (|a|^2-1)z_1 [/mm] $ = $ [mm] (|a|^2-1)z_2 [/mm] $

wie kommst du dadrauf? Ist das wirklich die selbe funktion? ich seh das irgendwie noch nicht...


Bezug
                        
Bezug
Einheitsscheibe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 22.04.2009
Autor: fred97

Multipliziere in

[mm] $\bruch{z_1-a}{\bar a z_1 -1} [/mm] = [mm] \bruch{z_2-a}{\bar a z_2 -1}$ [/mm]

mit den Nennern jeweils durch, dann multiplizierst Du rechts und links aus, etc...


Mach mal


FRED

Bezug
                                
Bezug
Einheitsscheibe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Mi 22.04.2009
Autor: ella87

aaaaah!!! vielen dank!! alles nachgerechnet. f ist injektiv.
wie siehts mit der surjektivität aus? da ist mein ansatz bestimmt auch nicht richtig oder? man macht das nicht indem man z=u+iv und a=x+iy setzt oder? ich kann das nämlich nicht weiter vereinfachen....

Bezug
                                        
Bezug
Einheitsscheibe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Mi 22.04.2009
Autor: schachuzipus

Hallo ella87,

> aaaaah!!! vielen dank!! alles nachgerechnet. f ist
> injektiv.
> wie siehts mit der surjektivität aus? da ist mein ansatz
> bestimmt auch nicht richtig oder? man macht das nicht indem
> man z=u+iv und a=x+iy setzt oder? ich kann das nämlich
> nicht weiter vereinfachen....

Rechne das doch einfach wie üblich nach ...

[mm] $f(z)=w=\frac{z-a}{\overline{a}z-1}$ [/mm]

Das gilt es nach $z$ aufzulösen:

[mm] $\Rightarrow w(\overline{a}z-1)=z-a$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow z(1-\overline{a}w)=a-w$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow z=\frac{a-w}{1-\overline{a}w}$ [/mm]

Damit ist ein Urbild für $w$ mit [mm] $z=\frac{a-w}{1-\overline{a}w}$ [/mm] gefunden

Bleibt zu zeigen, dass [mm] $\frac{a-w}{1-\overline{a}w}\in [/mm] D$ ist, also dass [mm] $\left|\frac{a-w}{1-\overline{a}w}\right|<1$ [/mm] ist ...


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Einheitsscheibe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:38 Mi 22.04.2009
Autor: ella87

jup. Bis dahin ist klar. aber dann... wie berechne ich denn den Betrag davon?

Normal gilt doch: [mm]\left| z \right|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] für [mm] z=a+ib[/mm].
Ich kann aber den Bruch nicht in Real- und Imaginärteil trennen.
Muss man das oder geht da irgendwie anders? Ich muss mich irgendwie erstman an die komplexen Zahlen gewöhnen...

(Danke für die Geduld!)

Bezug
                                                        
Bezug
Einheitsscheibe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 24.04.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Einheitsscheibe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:47 Do 23.04.2009
Autor: felixf

Siehe auch hier.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]