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Einheitsvektor: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mi 08.04.2009
Autor: jojo1484

Aufgabe
Bestimmen Sie zu den Vektoren [mm] \vec{a_{i}} [/mm] den zugehörigen normierten Einheitsvektor [mm] \vec{e_{i}} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{|\vec{a_{i}}|} \vec{a_{i}} [/mm] :

a) [mm] \vec{a_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 0} [/mm]

b) [mm] \vec{a_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ -2} [/mm]

c) [mm] \vec{a_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ a \\ 0} [/mm]

d) [mm] \vec{a_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}}} [/mm]

Die Ergebnisse hierzu sind wohl folgende:

a) [mm] \vec{e_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

b) [mm] \vec{e_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm]

c) [mm] \vec{e_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]

d) [mm] \vec{e_{4}} [/mm] = [mm] \vec{a_{4}} [/mm]

Aber kann mir bitte jemand kurz erklären wie ich zu diesen Vektoren komme und was der Einheitsvektor genau zu sagen hat? Ich wäre euch sehr dankbar.

Vielen Dank.

Grüße Jojo1484

        
Bezug
Einheitsvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mi 08.04.2009
Autor: Kroni

Hi,

ein Einheitsvektor zeichnet sich dadurch aus, dass er in die selbe Richtung wie dein Vektor [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] zeigt, allerdings die Länge 1 hat. D.h. wenn man [mm] $|\vec{a}|$ [/mm] berechnet, kommt 1 heraus.

Die Rechenanweisung steht da ja eigentlich auch schon: [mm] $\vec{e_i}=\frac{1}{|\vec{a_i}|}\vec{a_i}$, [/mm] was heißt, dass der Einheitsvektor ein Vielfaches von deinem Vektor [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] ist, also in die selbe Richtung zeigt, aber die Länge 1 hat.

> Bestimmen Sie zu den Vektoren [mm]\vec{a_{i}}[/mm] den zugehörigen
> normierten Einheitsvektor [mm]\vec{e_{i}}[/mm] =  
> [mm]\bruch{1}{|\vec{a_{i}}|} \vec{a_{i}}[/mm] :
>  
> a) [mm]\vec{a_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> b) [mm]\vec{a_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -2 \\ -2}[/mm]
>  
> c) [mm]\vec{a_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ a \\ 0}[/mm]
>  
> d) [mm]\vec{a_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel[n]{3}}}[/mm]
>  
> Die Ergebnisse hierzu sind wohl folgende:
>
> a) [mm]\vec{e_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]

Das passt, kann man ja auch sofort nachrechnen.

>  
> b) [mm]\vec{e_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]

Die Zeigen zwar in die selbe Richtung, die Länge ist aber nicht 1: [mm] $|\vec{e_2}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\not=1$, [/mm] das passt nicht.

>  
> c) [mm]\vec{e_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]

Auch hier passt die Länge nicht.

>  
> d) [mm]\vec{e_{4}}[/mm] = [mm]\vec{a_{4}}[/mm]
>  
> Aber kann mir bitte jemand kurz erklären wie ich zu diesen
> Vektoren komme und was der Einheitsvektor genau zu sagen
> hat? Ich wäre euch sehr dankbar.


Also, nimm dir am besten nochmal alle Vektoren vor. Rechne den Betrag des Vektors aus, der ja so definiert ist: [mm] $\left|\pmat{a\\b\\c}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. [/mm] Wenn du den hast, nimmst du dir wieder den Vektor [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] her, und teilst durch seine Länge. Dann hast du den Einheitsvektor von [mm] $\vec{a_i}$ [/mm] raus.

LG

Kroni

>  
> Vielen Dank.
>  
> Grüße Jojo1484


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