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Hallo,
Ich Steige mal gleich direkt mit einem Beispiel ein.
Ich möchte die Gleichung [mm] $z^4 [/mm] = -1$ lösen.
Nun weiß man ja, dass die nte Wurzel aus z mittels
$ [mm] z_k [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|z|}exp(i (\frac{\phi + 2 \pi k}{n})$ [/mm] k=0,...,n-1
berechnet werden kann.
Will ich also [mm] $z^4 [/mm] = -1$ lösen so würde das nach obiger Formel
[mm] z_0 [/mm] = exp(i [mm] (\frac{\phi + 2 \pi 0}{4})$
[/mm]
.
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[mm] z_3 [/mm] =exp(i [mm] (\frac{\phi + 2 \pi 3}{4})$
[/mm]
bleibt das [mm] \phi [/mm] zu bestimmen.... für z=x+iy ist ja [mm] $\phi [/mm] = arctan(y/x)$ , hier also [mm] $\phi [/mm] = arctan(0)$
Jetzt ist aber blöd, dass der arctan mehrdeutig ist und damit wir auf die richtigen Lösungen kommen müssen wir um [mm] \pi [/mm] verschieben
dann also
[mm] $z_0 [/mm] = exp(i [mm] (\frac{\pi + 2 \pi 0}{4})$
[/mm]
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[mm] $z_3 [/mm] =exp(i [mm] (\frac{\pi + 2 \pi 3}{4})$
[/mm]
Warum ist also
-1 = 1 [mm] exp(\pi [/mm] / 4)
wenn man mit der üblichen Formel von Polarkoordinaten $(z= r [mm] \cdot [/mm] exp(i [mm] \phi)) [/mm] $auf -1 = 1 exp(0) kommen würde ?
Lg und Danke
Peter
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Hallo,
> Hallo,
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> Ich Steige mal gleich direkt mit einem Beispiel ein.
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> Ich möchte die Gleichung [mm]z^4 = -1[/mm] lösen.
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> Nun weiß man ja, dass die nte Wurzel aus z mittels
>
> [mm]z_k = \wurzel[n]{|z|}exp(i (\frac{\phi + 2 \pi k}{n})[/mm]
> k=0,...,n-1
>
> berechnet werden kann.
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> Will ich also [mm]z^4 = -1[/mm] lösen so würde das nach obiger
> Formel
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> [mm]z_0[/mm] = exp(i [mm](\frac{\phi + 2 \pi 0}{4})[/mm]
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> [mm]z_3[/mm] =exp(i [mm](\frac{\phi + 2 \pi 3}{4})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bleibt das [mm]\phi[/mm] zu bestimmen.... für z=x+iy ist ja [mm]\phi = arctan(y/x)[/mm]
> ,
Das stimmt so nicht ganz, du musst ja diverse Fälle betrachten, je nachdem, in welchem Quadranten $z$ liegt. Außerdem musst du den Fall $x=0$ beachten ...
> hier also [mm]\phi = arctan(0)[/mm]
Hier (da x<0 und y>=0) arctan(y/x)+pi
Aber das Argument von -1 musst du hoffentlich nicht ausrechnen, das kannst du doch direkt ablesen. Mal dir das mal auf, dann siehst du doch direkt, dass das mit der poitiven reellen Achse einen Winkel von pi einschließt ...
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> Jetzt ist aber blöd, dass der arctan mehrdeutig ist und
> damit wir auf die richtigen Lösungen kommen müssen wir um
> [mm]\pi[/mm] verschieben
>
> dann also
>
> [mm]z_0 = exp(i (\frac{\pi + 2 \pi 0}{4})[/mm]
> .
> .
> .
> .
> [mm]z_3 =exp(i (\frac{\pi + 2 \pi 3}{4})[/mm]
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> Warum ist also
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> -1 = 1 [mm]exp(\pi[/mm] / 4)
Wieso sollte das gelten?
Es ist exp(pi/4)>0; im Reellen ist die Exponentialfunktion stets >0 ...
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> wenn man mit der üblichen Formel von Polarkoordinaten [mm](z= r \cdot exp(i \phi)) [/mm]auf
> -1 = 1 exp(0) kommen würde ?
Zeige mal wie du auf was kommst?!?!
Es ist -1=|-1|*(cos(pi)+isin(pi))=exp(pi*i)
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> Lg und Danke
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> Peter
Gruß
schachuzipus
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