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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | In einem Fünf-Familienhaus wohnen die Familien 'A', 'B', 'C', 'D' und 'E' (Familiennamen anonymisiert). Von diesen Familien ist das Durchschnittseinkommen pro Monat erfasst worden:
A: 1500 Euro
B: 1250 Euro
C: 1750 Euro
D: 1750 Euro
E: 1250 Euro
1. Berechnen Sie das Durchschnittseinkommen $\mu$ dieser fünf Familien.
2. Ziehen Sie alle möglichen Stichproben vom Umfang $n=3$ ohne Zurücklegen aus dieser Grundgesamtheit vom Umfang $N=5$ und schätzen Sie in jeder Stichprobe das Durchschnittseinkommen.
3. Bestimmen und zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\overline{X}$. Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von $\overline{X}$. |
Hallo! An sich hört sich diese Aufgabe ja nicht so schwer an, aber der Teufel steckt wohl im Detail.
Hier meine bisherigen (noch sehr dürftigen) Ideen:
1. $\mu=\frac{1}{5}(1500+1250+2\cdot 1750+1250)=\frac{7500}{5}=1500$
2. Man soll ohne Zurücklegen ziehen. Außerdem würde ich meinen, daß hier die Reihenfolge keine Rolle spielt. Wenn ich beispielsweise das Durchschnittseinkommen der Kombination ABC schätzen soll, so ist das m.E. identisch damit, das Durchschnittseinkommen von BAC oder CBA zu schätzen.
Daher würde ich meinen, daß man $\binom{5}{3}=10$ verschiedene Stichproben zu untersuchen hat:
ABC
ABE
ACE
ABD
CDE
ACD
CDB
AED
Das sind 8, fehlen noch zwei (die ich gerade leider nicht sehe).
Und was ist jetzt damit gemeint, daß man das Durchschnittseinkommen jeder Stichprobe schätzen soll?
Ich hätte das jetzt spontan so verstanden (beispielsweise für die Stichprobe AED):
$\mu=\frac{1}{3}(1500+1250+1750)=\frac{4500}{3}=1500$
[Oder ist das hier anders gemeint?]
3. Da komme ich jetzt ein bisschen in Verlegenheit. Ich würde meinen, daß $\overline{X}=\mu$ für das $\mu$ aus Teilaufgabe 1, also $\overline{X}=1500$.
Was die Wahrscheinlichkeitsverteilung angeht, bin ich gerade ratlos. Wie kann man die bestimmen?
Der Erwartungswert von $\overline{X}$:
$E\left(1500)=1500$
Allgemein:
$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)$, was hier natürlich darauf hinausläuft, daß man wieder auf 1500 kommt.
Varianz:
$V(1500)=E(1500^2)-E(1500)^2=0$.
Standardabweichung ist dann auch 0.
Ich würde mich sehr über ein bisschen Hilfe freuen!
LG
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo dennis,
Deine Überlegungen sind schon okay. Die zwei noch fehlenden Kombinationen sind BCE und BDE.
Die Aufgabe 3) bezieht sich auf die Berechnung in 2). Du hast 10 Durchschnittseinkommen bestimmt aufgrund der 10 Kombinationen und von denen lässt sich nun Mittelwert, Varianz und Standardabweichung bestimmen nach Formeln, die Du sicherlich kennst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, 2) habe ich dann gelöst.
3)
Ist dann
[mm] $E(\overline{X})=\frac{1}{10}\cdot(5\cdot 1500+1333,33+2\cdot 1583,33+2\cdot [/mm] 1416,67)=1483,33$?
Und die Varianz
[mm] $\operatorname{Var}(\overline{X})=0$?
[/mm]
Also auch die Standardabweichung gleich 0?
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Wie bestimme ich nun die Wkeitsverteilung von [mm] $\overline{X}$. [/mm] Meint man da die empirische Verteilungsfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, den Erwartungswert über die 10 Kombinationen hätte ich auch so berechnet, die varianz kann aber nicht Null sein, denn der eben von Dir ausgerechnete Erwartungswert stimmt doch nicht mit dem Erwartungswert auch nur einer der 10 Mittelwerte überein. Für die Varianz [mm] s^2 [/mm] bekommt man dann eine Summe nämlich [mm] s^2 = \bruch{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 [/mm]
Die neue Verteilung dieser Mittelwerte kannst Du in ein Diagramm einzeichnen oder einfach als Ergebnismenge von zehn Werten angeben, nämlich der Werte von [mm] X_1 \, {\em bis}\, X_{10} [/mm].
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Da habe ich schon wieder so ein befremdliches Ergebnis heraus:
[mm] $\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{1}{19}\cdot\left[5\cdot (1500-1483,33)^2+(1333,33-1483,33)^2+2\cdot (1583,33-1483,33)^2+2\cdot (1416,67-1483,33)^2\right]=5277,66$
[/mm]
Kann das möglich sein?
Wenn ja, dann wäre die Standardabweichung 72,6475.
Könntest Du vllt. ein wenig genauer erklären, wie ich jetzt die Wkeitsverteilung von [mm] $\overline{X} [/mm] bestimme und zeichne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Die 19 im Nenner ist wohl ein Vertipper, mit einer 10 bekomme ich dasselbe raus wie Du.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke.
Aber ich muss doch nochmal fragen, wie ich jetzt die Wkeitsverteilung von [mm] $\overline{X}$ [/mm] bestimme und zeichne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Du hast doch zehn Erwartungswerte berechnet, von denen einige Werte mehr als einmal vorkommen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X) gibt Dir doch an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das ein Wert X < x auftritt. Ordne also die zehn Werte der Größe nach, sie liegen zwischen 1333 und 1583 (mal ohne die Kommastellen betrachtet) und treten unterschiedlich häufig auf. 1333 einmal, 1416 zweimal usw. An jeder dieser Stellen macht die Wahrscheinlichkeitsverteilung einen Spring um m/10, wobei m die Anzahl der auftretenden Werte ist. Bei 1583 solltest Du dann bei einem Wahrscheinlichkeitswert von 1 angekommen sein, da alle Werte darunter liegen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das ist doch die empirische Verteilungsfunktion, oder?
(Ich frage nur nach, weil ich glaube ich vorhin schon mal gefragt hatte, ob hier die empirische Verteilungsfunktion gemeint ist.)
Es ergibt sich doch eine Treppenfunktion, die quasi bei 1333,33 beginnt und dort ist der (Punkt)-Wert 1/10.
Dann geht es weiter zu 1416,67, da ist der (Punkt-)Wert 3/10.
Und so weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Ja, genau das ist die Vorgehensweise.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, die Verteilungsfunktion ist dann:
[mm] $F(\overline{X}=x)=\begin{cases}
0, & x<1333,33\\
\frac{1}{10}, & 1333,33\leq x<1416,67\\
\frac{3}{10}, & 1416,67\leq x<1500\\
\frac{8}{10}, & 1500\leq x<1583,33\\
1, & 1583,33\leq x
\end{cases}
[/mm]
So korrekt?
In der Aufgabenformulierung steht ja:
"Bestimmen und zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von [mm] $\overline{X}$."
[/mm]
Wie liest man hier heraus, daß man die (empirische) Verteilungsfunktion bestimmen und zeichnen soll und nicht etwa die Zähldichte oder Ähnliches?
Bei Wiki steht:
"Zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden unter anderem Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Dichtefunktionen, Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Wow, das hätte ich nicht schöner darstellen können. Prima!
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 20.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Hast Du meine Frage (bzw. das, was ich noch ergänzt hatte) vollständig gelesen?
Ich danke Dir sehr für Deine ausdauernde und geduldige Hilfe und wünsche noch einen schönen Restsonntag!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 20.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Wahrscheinlichkeitsverteilung war ja gefragt, dies ist immer eine monoton steigende Funktion mit Werten zwischen 0 und 1. Die Dichte ist die Ableitung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung und nimmt nur positive Werte an. In Deinem Fall ist sie etwas gewöhnungsbedürftig, da es sich um eine diskrete Verteilung handelt. Diese beschreibt man durch Dirac-Stöße, deren Höhe der Auftretenswahrscheinlichkeit entspricht.
Einen schönen Sonntag noch, auch wenn es bereits dunkel ist.
Viele Grüße,
Infinit
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