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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \sqrt[n]{n}->1 [/mm] |
Hi,
in der Vorlesung hatten wir den Einschließungssatz. D.h. wenn [mm] a_n\le b_n\le c_n [/mm] für fast alle n aus N. Wenn dann [mm] a_n [/mm] gegen b konvergiert und [mm] c_n [/mm] gegen b, dann konvergiert [mm] b_n [/mm] auch gegen b.
Dazu hatten wir ein Beispiel:
[mm] \sqrt[n]{n}.
[/mm]
Da haben wir gezeigt, dass das gegen 1 konvergiert.
Nun. Der Beweis lief so ab:
[mm] $n=(1+(\sqrt[n]{n}-1)^n \ge 1+\pmat{n\\2}(\sqrt[n]{n}-1)^2$
[/mm]
Das ist mir noch klar. Einfach ein paar Summanden weglassen, die dort eg. nach dem Binomialsatz stehen müssten.
Dann haben wir die 1 auf die andere Seite gebracht, so dass dann dort stand:
[mm] $n-1\ge \frac{n*(n-1)}{2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2$
[/mm]
Nun kommt der Schritt, den ich nicht verstehe:
Es steht dort: Das beudetet:
[mm] $1\ge\sqrt[n]{n}\ge1+\sqrt{2/n}$
[/mm]
Dass dann die rechte Seite gegen 1 konvergiert, und [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] demnach auch, ist wieder klar. Aber wie kommt man auf die rechte Seite? Ich sehe dort keinen Zusammenhang zwischen dem, was wir vorher mit dem Binomialsatz gemacht haben, und der rechten Seite.
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für die lange Wartezeit, hatte nen crash :((
m.E. sind die Ungleichheitszeichen falsch herum ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> [mm]n=(1+(\sqrt[n]{n}-1)\red{)}^n \ge 1+\pmat{n\\2}(\sqrt[n]{n}-1)^2[/mm]
>
> Das ist mir noch klar. Einfach ein paar Summanden
> weglassen, die dort eg. nach dem Binomialsatz stehen
> müssten.
>
> Dann haben wir die 1 auf die andere Seite gebracht, so dass
> dann dort stand:
>
> [mm]n-1\ge \frac{n*(n-1)}{2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2[/mm]
>
> Nun kommt der Schritt, den ich nicht verstehe:
>
> Es steht dort: Das beudetet:
>
> [mm]1\ge\sqrt[n]{n}\ge1+\sqrt{2/n}[/mm]
Hier muss es doch heißen [mm] $1\red{\le}\sqrt[n]{n}\red{\le} 1+\sqrt{\frac{2}{n}}$
[/mm]
> Dass dann die rechte Seite gegen 1 konvergiert, und
> [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] demnach auch, ist wieder klar. Aber wie kommt
> man auf die rechte Seite? Ich sehe dort keinen Zusammenhang
> zwischen dem, was wir vorher mit dem Binomialsatz gemacht
> haben, und der rechten Seite.
>
> LG
>
> Kroni
Wenn du hier [mm] $n-1\ge \frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2$ [/mm] auf beiden Seiten mit [mm] $\frac{2}{n(n-1)}$ [/mm] multiplizierst, hast du
[mm] $\frac{2}{n}\ge (\sqrt[n]{n}-1)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{n}}\ge \sqrt[n]{n}-1$, [/mm] also [mm] $\sqrt{\frac{2}{n}}+1\ge \sqrt[n]{n}$
[/mm]
Wegen [mm] $n\ge [/mm] 1$ ist auch [mm] $\sqrt[n]{n}\ge\sqrt[n]{1}=1$, [/mm] so dass du insgesamt die "Einschließungskette
[mm] $1\le\sqrt[n]{n}\le\sqrt{\frac{2}{n}}+1$ [/mm] erhältst.
Du hast also, indem du nur die ersten beiden Summanden aus dem Binom [mm] $(1+(\sqrt[n]{n}-1)^n$ [/mm] genommen hast, das [mm] $\sqrt[n]{n}$ [/mm] zwischen zwei Folgen einschließen können, die beide gegen 1 konvergieren.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kein Problem wegen der "langen" Wartezeit=)
Ah, gut, das macht dann Sinn, dass man dann auf diese Umformung kommt. Ja, die Zeichen waren falsch herum, sorry...
Danke für deine Erklärung =)
Ich habe aber noch eine Frage: Wenn ich zeigen soll, dass eine Folge konvergiert, und dann ihren Grenzwert berechenn soll, reicht es doch eigentlich, wenn ich ihren Limes gegen unendlich berechne, und diesen dann finde. Dann habe ich doch gleichzeitg gezeigt, dass diese Folge konvergiert oder?!
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kroni!
> Ich habe aber noch eine Frage: Wenn ich zeigen soll, dass
> eine Folge konvergiert, und dann ihren Grenzwert berechenn
> soll, reicht es doch eigentlich, wenn ich ihren Limes gegen
> unendlich berechne, und diesen dann finde. Dann habe ich
> doch gleichzeitg gezeigt, dass diese Folge konvergiert oder?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das reicht aus, wenn sich der Grenzwert / Limes so geschlossen ermitteln lässt.
Es gibt aber auch Folgen, wo man mittels Monotonie und Beschränktheit erst die Konvergenz voraussetzen kann, um dann diesen Grenzwert zu ermitteln.
Gruß
Loddar
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