Einschr. auf Automorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Di 03.06.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe 1 | | Beweisen Sie, dass für jeden Automorphismus [mm] \pi [/mm] : [mm] \IN \mapsto \IN [/mm] gilt: Die Einschränkung von [mm] \pi [/mm] auf die Menge der Primzahlen ist bijektiv. |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] \pi [/mm] ein Automorphismus der Menge der Primzahlen. Beweisen Sie, dass ein eindeutiger Automorphismus existiert, der [mm] \pi [/mm] auf [mm] \IN [/mm] erweitert. |
Hallo zusammen,
mein Problem mit der ersten Aufgabe ist, dass ich noch gar nicht sehe, dass die Behauptung überhaupt gilt. Nehme ich z.B. die Identität als Automorphismus, und schränke die Definitionsmenge auf die Primzahlen ein, dann reduziert sich ja auch meine Bildmenge auf die Primzahlen. Ich kann also z.B. die 2 nicht mehr erreichen. Also ist doch die Einschränkung von [mm] \pi [/mm] nicht mehr bijektiv.
Es gibt wohl auch Definitionen der Einschränkung einer Abbildung, bei denen auch die Bildmenge eingeschränkt wird, allerdings haben wir die Einschränkung nur für die Definitionsmenge definiert.
Bei der zweiten Aufgabe wäre mein Ansatz zu sagen, dass für alle p [mm] \in \IP [/mm] gilt, dass [mm] \pi(p) \in \IP [/mm] ist. Wenn ich jetzt ein x [mm] \not\in \IP [/mm] habe, dann gibt es aber ja wegen der Primfaktorzerlegung [mm] x_1,...,x_n \in \IP, [/mm] sodass x = [mm] x_1 [/mm] * ... * [mm] x_n [/mm] gilt. Dann ist der Automorphismus [mm] \kappa, [/mm] der [mm] \pi [/mm] erweitert eindeutig definiert als [mm] \kappa(x) [/mm] = [mm] \pi(x_1) [/mm] * ... * [mm] \pi(x_n). [/mm] Kann ich so argumentieren?
Schonmal vielen Dank für eure Hilfe.
Beste Grüße,
Avinu
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> Beweisen Sie, dass für jeden Automorphismus [mm]\pi[/mm] : [mm]\IN \mapsto \IN[/mm]
> gilt: Die Einschränkung von [mm]\pi[/mm] auf die Menge der
> Primzahlen ist bijektiv.
> Sei [mm]\pi[/mm] ein Automorphismus der Menge der Primzahlen.
> Beweisen Sie, dass ein eindeutiger Automorphismus
> existiert, der [mm]\pi[/mm] auf [mm]\IN[/mm] erweitert.
Zuerst wäre es gut, wenn du dazusagen würdest, um was für einen Automorphismus es sich handelt. Automorphismus von Mengen? Halbringen? Monoiden?
> Hallo zusammen,
>
> mein Problem mit der ersten Aufgabe ist, dass ich noch gar
> nicht sehe, dass die Behauptung überhaupt gilt. Nehme ich
> z.B. die Identität als Automorphismus, und schränke die
> Definitionsmenge auf die Primzahlen ein, dann reduziert
> sich ja auch meine Bildmenge auf die Primzahlen. Ich kann
> also z.B. die 2 nicht mehr erreichen. Also ist doch die
> Einschränkung von [mm]\pi[/mm] nicht mehr bijektiv.
Hier verstehe ich nicht, was du meinst. Wenn du die Identität [mm] $\IN\xrightarrow{x\mapsto x}\IN$ [/mm] auf $P$ einschränkst, ergibt sich natürlich [mm] $P\xrightarrow{x\mapsto x}P$, [/mm] was wieder bijektiv ist, und die $2$ wird sehr wohl erreicht.
Trotzdem ist die Behauptung nicht klar, so lange nicht klar ist, was für Automorphismen du meinst. Wenn Automorphismen von Menge (=Bijektionen) gemeint sind, liefert zum Beispiel die Abbildung, welche nur $3$ und $4$ vertauscht, ein Gegenbeispiel.
> Es gibt wohl auch Definitionen der Einschränkung einer
> Abbildung, bei denen auch die Bildmenge eingeschränkt
> wird, allerdings haben wir die Einschränkung nur für die
> Definitionsmenge definiert.
>
> Bei der zweiten Aufgabe wäre mein Ansatz zu sagen, dass
> für alle p [mm]\in \IP[/mm] gilt, dass [mm]\pi(p) \in \IP[/mm] ist.
Das ist doch klar, wenn [mm] $\pi$ [/mm] eine Abbildung [mm] $\IP\longrightarrow\IP$ [/mm] ist. Kläre am besten zuerst mal, welche Struktur auf [mm] $\IN$ [/mm] gemeint ist, dann kann ich weiterhelfen. Allgemein gilt übrigens, dass ein Homomorphismus einer algebraischen Struktur eindeutig durch seine Wirkung auf einem beliebigen Erzeugendsystem bestimmt ist. Außerdem ist das multiplikative Monoid der natürlichen Zahlen (ohne 0) das freie kommutative Monoid über abzählbar vielen Erzeugern.
> Wenn ich
> jetzt ein x [mm]\not\in \IP[/mm] habe, dann gibt es aber ja wegen
> der Primfaktorzerlegung [mm]x_1,...,x_n \in \IP,[/mm] sodass x = [mm]x_1[/mm]
> * ... * [mm]x_n[/mm] gilt. Dann ist der Automorphismus [mm]\kappa,[/mm] der
> [mm]\pi[/mm] erweitert eindeutig definiert als [mm]\kappa(x)[/mm] = [mm]\pi(x_1)[/mm]
> * ... * [mm]\pi(x_n).[/mm] Kann ich so argumentieren?
>
> Schonmal vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Beste Grüße,
> Avinu
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 03.06.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo UniversellesObjekt,
schonmal vielen Dank für deine Antwort.
Eigentlich geht es um Logik. Wir sind in FO und haben eine Struktur [mm] \mathfrak{N} [/mm] = [mm] (\IN, [/mm] *) gegeben. Jetzt ist [mm] \pi [/mm] ein Automorphismus von [mm] \mathfrak{N}.
[/mm]
> Wenn du die
> Identität [mm]\IN\xrightarrow{x\mapsto x}\IN[/mm] auf [mm]P[/mm]
> einschränkst, ergibt sich natürlich
> [mm]P\xrightarrow{x\mapsto x}P[/mm], was wieder bijektiv ist, und
> die [mm]2[/mm] wird sehr wohl erreicht.
Das verstehe ich nicht. Wenn ich [mm] \pi [/mm] auf [mm] \IP [/mm] einschränke, dann betrifft das doch erst mal nur die Definitionsmenge. Es ist also [mm] \pi [/mm] : [mm] \IP \to \IN. [/mm] Das Bild von [mm] \pi [/mm] ist aber ja dann [mm] \IP [/mm] und nicht [mm] \IN. [/mm] Dann ist [mm] \pi [/mm] doch nicht bijektiv? Wie erreiche ich dann die 2?
Viele Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Di 03.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo UniversellesObjekt,
>
> schonmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> Eigentlich geht es um Logik. Wir sind in FO und haben eine
> Struktur [mm]\mathfrak{N}[/mm] = [mm](\IN,[/mm] *) gegeben. Jetzt ist [mm]\pi[/mm] ein
> Automorphismus von [mm]\mathfrak{N}.[/mm]
>
> > Wenn du die
> > Identität [mm]\IN\xrightarrow{x\mapsto x}\IN[/mm] auf [mm]P[/mm]
> > einschränkst, ergibt sich natürlich
> > [mm]P\xrightarrow{x\mapsto x}P[/mm], was wieder bijektiv ist, und
> > die [mm]2[/mm] wird sehr wohl erreicht.
>
> Das verstehe ich nicht. Wenn ich [mm]\pi[/mm] auf [mm]\IP[/mm] einschränke,
> dann betrifft das doch erst mal nur die Definitionsmenge.
> Es ist also [mm]\pi[/mm] : [mm]\IP \to \IN.[/mm] Das Bild von [mm]\pi[/mm] ist aber ja
> dann [mm]\IP[/mm] und nicht [mm]\IN.[/mm] Dann ist [mm]\pi[/mm] doch nicht bijektiv?
> Wie erreiche ich dann die 2?
Sei also [mm] \pi: \IN \to \IN [/mm] definiert durch [mm] \pi(n)=n.
[/mm]
Die Einschränkung von [mm] \pi [/mm] auf [mm] \IP [/mm] nenne ich mal [mm] \pi_0, [/mm] also
[mm] \pi_0: \IP \to \IN.
[/mm]
Dann ist [mm] \pi_0 [/mm] injektiv und [mm] \pi_0(\IP)= \IP [/mm] und [mm] \pi_0(2)=2.
[/mm]
Nun def. wir noch eine weitere Abbildung [mm] \pi_1:\IP \to \IP [/mm] durch
[mm] \pi_1(p):=\pi(p),
[/mm]
also
[mm] \pi_1(p)=p.
[/mm]
Dann ist [mm] \pi_1 [/mm] bijektiv und [mm] \pi_1(2)=2.
[/mm]
FRED
>
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 03.06.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Fred,
danke für dein Antwort.
Das mit der 2 ist jetzt ein bisschen peinlich, ich wollte eigentlich eine Zahl nehmen, die keine Primzahl ist :(
Aber ja, genau. Du schreibst ja, dass [mm] \pi_0 [/mm] nur injektiv ist. In der Aufgabe soll ich aber doch gerade Zeigen, dass [mm] \pi_0 [/mm] bijektiv ist. Und das ist, was ich nicht einsehe. Das [mm] \pi_1 [/mm] dann wieder bijektiv ist, ist mir auch vollkommen klar, aber da schränken wir ja auch die Zielmenge ein. So, wie wir die Einschränkung einer Funktion definiert haben, wird aber nur die Definitionsmenge Eingeschränkt.
Viele Grüße,
Avinu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 03.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für dein Antwort.
>
> Das mit der 2 ist jetzt ein bisschen peinlich, ich wollte
> eigentlich eine Zahl nehmen, die keine Primzahl ist :(
>
> Aber ja, genau. Du schreibst ja, dass [mm]\pi_0[/mm] nur injektiv
> ist. In der Aufgabe soll ich aber doch gerade Zeigen, dass
> [mm]\pi_0[/mm] bijektiv ist. Und das ist, was ich nicht einsehe. Das
> [mm]\pi_1[/mm] dann wieder bijektiv ist, ist mir auch vollkommen
> klar, aber da schränken wir ja auch die Zielmenge ein. So,
> wie wir die Einschränkung einer Funktion definiert haben,
> wird aber nur die Definitionsmenge Eingeschränkt.
Der Aufgabensteller hat Mist gebaut !
Ist f:A [mm] \to [/mm] B bijektiv und C eine echte Teilmenge von A, so kann die Einschränkung [mm] f_{|C}:C \to [/mm] B nicht bijektiv sein.
Anderenfalls wäre f(C)=f(A). Ist nun a [mm] \in [/mm] A mit a [mm] \notin [/mm] C, so ist f(a) [mm] \in [/mm] C.
Edit: es lautet natürlich f(a) [mm] \in [/mm] f(A)=f(C)
Also ex. ein c [mm] \in [/mm] C mit f(c)=f(a). Da f injektiv ist, folgt a=c [mm] \in [/mm] C, Widerspruch.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 03.06.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Fred,
vielen lieben Dank für die Bestätigung und den Beweis dazu. Dann habe ich da ja doch richtig gedacht :)
Allerdings müsste es nicht " Ist nun a $ [mm] \in [/mm] $ A mit a $ [mm] \notin [/mm] $ C, so ist f(a) $ [mm] \in [/mm] $ B " heißen?
Noch eine ganz andere Frage rein aus Interesse. Kann es einen Automorphismus [mm] \pi [/mm] in [mm] \mathfrak{N} [/mm] = [mm] (\IN, [/mm] *) geben, sodass für ein x [mm] \in \IP [/mm] gilt [mm] \pi(x) \not\in \IP? [/mm] Die einzige Möglichkeit für einen Automorphismus, die mir im Moment einfällt wäre eine "Vertauschung" von Primfaktoren. Das würde aber ja jede Primzahl wieder auf eine Primzahl abbilden.
Viele Grüße und danke nochmal für eure Hilfe!
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Mi 04.06.2014 | | Autor: | hippias |
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> Noch eine ganz andere Frage rein aus Interesse. Kann es
> einen Automorphismus [mm]\pi[/mm] in [mm]\mathfrak{N}[/mm] = [mm](\IN,[/mm] *) geben,
> sodass für ein x [mm]\in \IP[/mm] gilt [mm]\pi(x) \not\in \IP?[/mm] Die
> einzige Möglichkeit für einen Automorphismus, die mir im
> Moment einfällt wäre eine "Vertauschung" von
> Primfaktoren. Das würde aber ja jede Primzahl wieder auf
> eine Primzahl abbilden.
>
Nein, das geht nicht: Primzahl muessen auf Primzahlen abgebildet werden. Es ist eine schoene Uebung sich das zu ueberlegen.
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