Einseitige Grenzwerte - Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Di 02.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei (a,b) ein offenes reeles Intervall. Sei c [mm] \in [/mm] (a,b), sei f: (a,b)\ [mm] \{c\} \to \IR [/mm] eine Funktion und sei [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
Beweise dass:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow c +}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow c -}f(x) \gdw \limes_{x\rightarrow c}f(x) [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich habe versuch die Hin und Rückrichtung zu beweisen:
Hinrichtung:
[mm] \limes_{x\rightarrow c +} [/mm] f(x) = [mm] \alpha \gdw [/mm] für jede Folge (xn) in D mit xn > c und xn [mm] \to [/mm] c gilt f(xn) [mm] \to \alpha
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow c -} [/mm] f(x) = [mm] \alpha \gdw [/mm] für jede Folge (xn) in D mit xn < c und xn [mm] \to [/mm] c gilt f(xn) [mm] \to \alpha
[/mm]
da c [mm] \not\in [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] die Konstante folge xn=c [mm] \not\in [/mm] D
somit sind alle Folgen in D die xn < c [mm] \wedge [/mm] xn > c [mm] \wedge [/mm] xn [mm] \to [/mm] c erfüllen
äquivalent zu allen Folgen in D die xn [mm] \to [/mm] c erfüllen
also insgesamt haben wir
[mm] \limes_{x\rightarrow c +} [/mm] f(x) = [mm] \alpha \wedge \limes_{x\rightarrow c +} [/mm] f(x) = [mm] \alpha \gdw [/mm] für jede Folge (xn) in D mit xn [mm] \to [/mm] c gilt f(xn) [mm] \to \alpha \gdw \limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha
[/mm]
die Rückrichtung:
[mm] \limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] für jede Folge (xn) in D mit xn [mm] \to [/mm] c gilt f(xn) [mm] \to \alpha \gdw \limes_{x\rightarrow c +} [/mm] f(x) = [mm] \alpha \wedge \limes_{x\rightarrow c +} [/mm] f(x) = [mm] \alpha [/mm]
(gleiche Argumentation)
Ist der Ansatz richtig?
Verbesserungen?
nun fehlt aber noch die Existenz des Limes zu zeigen:
hier komme ich nicht weiter...
Ich hätte mir gedacht die Ordnungsvollständigkeit oder die Beschränktheit der Folgen [mm] f(xn)->\alpha [/mm] zu verwenden, aber ich weis nicht recht wo ich anfangen soll
Bin für jeden Tipp dankbar
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> Sei (a,b) ein offenes reelles Intervall. Sei c [mm]\in[/mm] (a,b),
> sei f: (a,b)\ [mm]\{c\} \to \IR[/mm] eine Funktion und sei [mm]\alpha \in \IR.[/mm]
>
> Beweise dass:
>
> [mm]\alpha\ =\ \limes_{x\rightarrow c +}f(x)\ =\ \limes_{x\rightarrow c -}f(x)\ \ \gdw\ \ \limes_{x\rightarrow c}f(x)[/mm]
Hallo elmanuel,
ich möchte nur darauf hinweisen, dass auf beiden
Seiten eines genau-dann-wenn-Pfeiles ( [mm] \gdw [/mm] )
eine Aussage (bzw. Aussageformen mit denselben
Variablen) stehen müssen.
[mm] \limes_{x\rightarrow c}f(x)
[/mm]
ist aber weder Aussage noch Aussageform, sondern
ein bloßer (Limes-) Term.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Di 02.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
ja danke al-chw!
es sollte heißen
[mm]\alpha\ =\ \limes_{x\rightarrow c +}f(x)\ =\ \limes_{x\rightarrow c -}f(x)\ \ \gdw\ \ \alpha = \limes_{x\rightarrow c}f(x)[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei (a,b) ein offenes reeles Intervall. Sei c [mm]\in[/mm] (a,b),
> sei f: (a,b)\ [mm]\{c\} \to \IR[/mm] eine Funktion und sei [mm]\alpha \in \IR.[/mm]
>
> Beweise dass:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x) \gdw \limes_{x\rightarrow c}f(x)[/mm]
>
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Also ich habe versuch die Hin und Rückrichtung zu
> beweisen:
>
> Hinrichtung:
??? Elektrischer Stuhl oder Spritze .... ??
> [mm]\limes_{x\rightarrow c +}[/mm] f(x) = [mm]\alpha \gdw[/mm] für jede
> Folge (xn) in D mit xn > c und xn [mm]\to[/mm] c gilt f(xn) [mm]\to \alpha[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow c -}[/mm] f(x) = [mm]\alpha \gdw[/mm] für jede
> Folge (xn) in D mit xn < c und xn [mm]\to[/mm] c gilt f(xn) [mm]\to \alpha[/mm]
Ich nehme an dass $D= (a,b) [mm] \setminus \{c\} [/mm] $ ist.
>
> da c [mm]\not\in[/mm] D [mm]\Rightarrow[/mm] die Konstante folge xn=c [mm]\not\in[/mm] D
Das ist ja sehr schlampig formuliert.
>
> somit sind alle Folgen in D die xn < c [mm]\wedge[/mm] xn > c
> [mm]\wedge[/mm] xn [mm]\to[/mm] c erfüllen
>
> äquivalent zu allen Folgen in D die xn [mm]\to[/mm] c erfüllen
Wieder schlampig ! Und falsch. Du meinst sicher, dass Du damit alle Folgen [mm] (x_n) [/mm] aus D mit [mm] x_n \to [/mm] c erfasst hast. Das hast Du aber nicht.
Setze z.B. [mm] x_n=c+(-1)^n* \bruch{1}{n}. [/mm] Für hinreichend großes n ist [mm] x_n \in [/mm] D.
Wir setzen also voraus, dass :
$ [mm] \alpha [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow c +}f(x) [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow c -}f(x) [/mm] $
Nun sei [mm] (x_n) [/mm] eine beliebige Folge in D mit [mm] x_n \to [/mm] c.
Fall 1: [mm] x_n>c [/mm] für fast alle n. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit: [mm] x_n>c [/mm] für alle n.
Wegen $ [mm] \alpha [/mm] $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow c +}f(x) [/mm] $, folgt:
[mm] f(x_n) \to \alpha.
[/mm]
Fall 2: [mm] x_n
Fall 3: [mm] x_n>c [/mm] für unendlich viele n und [mm] x_n [/mm] <c für unendlich viele n. Dann gibt es Teilfolgen [mm] (y_k) [/mm] und [mm] (z_k) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] mit:
[mm] y_kc [/mm] für alle k
und [mm] \{y_k,z_k: k \in \IN\}= \{x_n: n \in \IN \}.
[/mm]
Was treibt die Folge [mm] (f(y_k)) [/mm] und was treibt die Folge [mm] (f(z_k)) [/mm] ?
Warum gilt [mm] f(x_n) \to \alpha [/mm] ?
>
> also insgesamt haben wir
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow c +}[/mm] f(x) = [mm]\alpha \wedge \limes_{x\rightarrow c +}[/mm]
> f(x) = [mm]\alpha \gdw[/mm] für jede Folge (xn) in D mit xn [mm]\to[/mm] c
> gilt f(xn) [mm]\to \alpha \gdw \limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha[/mm]
>
>
> die Rückrichtung:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] für jede Folge
> (xn) in D mit xn [mm]\to[/mm] c gilt f(xn) [mm]\to \alpha \gdw \limes_{x\rightarrow c +}[/mm]
> f(x) = [mm]\alpha \wedge \limes_{x\rightarrow c +}[/mm] f(x) =
> [mm]\alpha[/mm]
>
> (gleiche Argumentation)
Na, na, da machst Du Dirs aber einfach !
Siehst Du denn nicht, dass die Implikation
$ [mm] \limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha [/mm] $ [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow c+} f(x)=\alpha=\limes_{x\rightarrow c-} [/mm] f(x)
eine Trivialität ist ?
FRED
>
> Ist der Ansatz richtig?
> Verbesserungen?
>
>
> nun fehlt aber noch die Existenz des Limes zu zeigen:
> hier komme ich nicht weiter...
>
> Ich hätte mir gedacht die Ordnungsvollständigkeit oder
> die Beschränktheit der Folgen [mm]f(xn)->\alpha[/mm] zu verwenden,
> aber ich weis nicht recht wo ich anfangen soll
>
> Bin für jeden Tipp dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 02.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke vielmals Fred!
> > Hinrichtung:
>
> ??? Elektrischer Stuhl oder Spritze .... ??
lieber ersteres, da kommt mir vielleicht noch ein geistesblitz bevor ich ausrauche ;)
> Ich nehme an dass [mm]D= (a,b) \setminus \{c\}[/mm] ist.
> Das ist ja sehr schlampig formuliert.
ja, richtig. ich werde versuchen an meiner Form zu arbeiten.
> Wir setzen also voraus, dass :
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x)[/mm]
>
> Nun sei [mm](x_n)[/mm] eine beliebige Folge in D mit [mm]x_n \to[/mm] c.
>
> Fall 1: [mm]x_n>c[/mm] für fast alle n. Ohne Beschränkung der
> Allgemeinheit: [mm]x_n>c[/mm] für alle n.
>
> Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x) [/mm], folgt:
>
> [mm]f(x_n) \to \alpha.[/mm]
>
> Fall 2: [mm]x_n
> Mach mal.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit: [mm]x_n
Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x) [/mm], folgt:
[mm]f(x_n) \to \alpha.[/mm]
> Fall 3: [mm]x_n>c[/mm] für unendlich viele n und [mm]x_n[/mm] <c für
> unendlich viele n. Dann gibt es Teilfolgen [mm](y_k)[/mm] und [mm](z_k)[/mm]
> von [mm](x_n)[/mm] mit:
>
> [mm]y_kc[/mm] für alle k
>
> und [mm]\{y_k,z_k: k \in \IN\}= \{x_n: n \in \IN \}.[/mm]
>
> Was treibt die Folge [mm](f(y_k))[/mm] und was treibt die Folge
> [mm](f(z_k))[/mm] ?
Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x) [/mm] und [mm] z_k \rightarrow [/mm] c, folgt:
[mm]f(z_k) \to \alpha.[/mm]
Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x) [/mm] und [mm] y_k \rightarrow [/mm] c, folgt:
[mm]f(y_k) \to \alpha.[/mm]
> Warum gilt [mm]f(x_n) \to \alpha[/mm] ?
Nachdem [mm] y_k [/mm] und [mm] z_k [/mm] gegen c konvergieren und die Folgen [mm] f(y_k), f(z_k) [/mm] gegen [mm] \alpha [/mm] konvergieren und [mm] \{y_k, z_k:k\in \IN\}=\{x_n:n\in \IN\}
[/mm]
gilt auch im 3. Fall
[mm]f(x_n) \to \alpha[/mm]
Somit ist jeder Fall abgedeckt und es gilt:
jede Folge [mm] x_n [/mm] in D mit [mm] x_n \rightarrow [/mm] c erfüllt: [mm] f(x_n) \rightarrow \alpha \quad \gdw \quad[/mm] [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c}f(x) [/mm]
richtig so??
-
die Rückrichtung:
[mm]\limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha[/mm] [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow c+} f(x)=\alpha=\limes_{x\rightarrow c-} f(x)[/mm]
eine Trivialität !
> > nun fehlt aber noch die Existenz des Limes zu zeigen:
> > hier komme ich nicht weiter...
> >
> > Ich hätte mir gedacht die Ordnungsvollständigkeit oder
> > die Beschränktheit der Folgen [mm]f(xn)->\alpha[/mm] zu verwenden,
> > aber ich weis nicht recht wo ich anfangen soll
Noch ein Tipp zur Existenz des Limes?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke vielmals Fred!
>
> > > Hinrichtung:
> >
> > ??? Elektrischer Stuhl oder Spritze .... ??
>
> lieber ersteres, da kommt mir vielleicht noch ein
> geistesblitz bevor ich ausrauche ;)
>
> > Ich nehme an dass [mm]D= (a,b) \setminus \{c\}[/mm] ist.
> > Das ist ja sehr schlampig formuliert.
> ja, richtig. ich werde versuchen an meiner Form zu
> arbeiten.
>
>
> > Wir setzen also voraus, dass :
> >
> > [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x)[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x)[/mm]
> >
> > Nun sei [mm](x_n)[/mm] eine beliebige Folge in D mit [mm]x_n \to[/mm] c.
> >
> > Fall 1: [mm]x_n>c[/mm] für fast alle n. Ohne Beschränkung der
> > Allgemeinheit: [mm]x_n>c[/mm] für alle n.
> >
> > Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x) [/mm], folgt:
> >
> > [mm]f(x_n) \to \alpha.[/mm]
> >
> > Fall 2: [mm]x_n
> > Mach mal.
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> Ohne Beschränkung der Allgemeinheit: [mm]x_n
>
> Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x) [/mm], folgt:
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> [mm]f(x_n) \to \alpha.[/mm]
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> > Fall 3: [mm]x_n>c[/mm] für unendlich viele n und [mm]x_n[/mm] <c für
> > unendlich viele n. Dann gibt es Teilfolgen [mm](y_k)[/mm] und [mm](z_k)[/mm]
> > von [mm](x_n)[/mm] mit:
> >
> > [mm]y_kc[/mm] für alle k
> >
> > und [mm]\{y_k,z_k: k \in \IN\}= \{x_n: n \in \IN \}.[/mm]
> >
> > Was treibt die Folge [mm](f(y_k))[/mm] und was treibt die Folge
> > [mm](f(z_k))[/mm] ?
>
> Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c +}f(x)[/mm] und [mm]z_k \rightarrow[/mm]
> c, folgt:
>
> [mm]f(z_k) \to \alpha.[/mm]
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> Wegen [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c -}f(x)[/mm] und [mm]y_k \rightarrow[/mm]
> c, folgt:
>
> [mm]f(y_k) \to \alpha.[/mm]
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>
> > Warum gilt [mm]f(x_n) \to \alpha[/mm] ?
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> Nachdem [mm]y_k[/mm] und [mm]z_k[/mm] gegen c konvergieren und die Folgen
> [mm]f(y_k), f(z_k)[/mm] gegen [mm]\alpha[/mm] konvergieren und [mm]\{y_k, z_k:k\in \IN\}=\{x_n:n\in \IN\}[/mm]
>
> gilt auch im 3. Fall
>
> [mm]f(x_n) \to \alpha[/mm]
>
>
> Somit ist jeder Fall abgedeckt und es gilt:
>
> jede Folge [mm]x_n[/mm] in D mit [mm]x_n \rightarrow[/mm] c erfüllt: [mm]f(x_n) \rightarrow \alpha \quad \gdw \quad[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow c}f(x)[/mm]
>
> richtig so??
Ja
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> -
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> die Rückrichtung:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha[/mm] [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow c+} f(x)=\alpha=\limes_{x\rightarrow c-} f(x)[/mm]
>
> eine Trivialität !
>
> > > nun fehlt aber noch die Existenz des Limes zu zeigen:
> > > hier komme ich nicht weiter...
> > >
> > > Ich hätte mir gedacht die Ordnungsvollständigkeit oder
> > > die Beschränktheit der Folgen [mm]f(xn)->\alpha[/mm] zu verwenden,
> > > aber ich weis nicht recht wo ich anfangen soll
>
> Noch ein Tipp zur Existenz des Limes?
??? Bei der Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] setzt Du doch voraus, dass [mm]\limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha[/mm] ist
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 02.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
> > richtig so??
>
>
> Ja
super! 
> > Noch ein Tipp zur Existenz des Limes?
>
> ??? Bei der Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] setzt Du doch voraus, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow c} f(x)=\alpha[/mm] ist
Bei der Angabe steht: Beweise ... (Äquivalenz wie angegeben) und dann steht in Klammer noch (insbesondere existiert der Limes). Ich dachte deswegen muss ich Hin/Rückrichtung und Existenz zeigen.
Das ich in der Voraussetzung aber schon von einem Limes ausgehe hat mich auch verwirrt. Möglicherweise hat der Hinweis in der Klammer eine andere Bedeutung...
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