Einseitiger Differentialquotie < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Fr 22.04.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll durch die Berechnung des einseitigen Differentialquotienten,untersuchen ob im Punkt (13,8) eine Tangente besitzt und weiters ob f(x) an der Stelle x=13 stetig ist?
Die funktion lautet f(x)= 3x-31.......x≤13
[mm] \wurzel{5x-1}...............x>13
[/mm]
Doch was meinen die mit dem einseitigen Differentialquotienten? OB die Funktion eine Tangente besitzt ,seh ich doch ob der Differentialquotient existiert d.h [mm] \limes_{a\rightarrow\x}\bruch{f(a)-f(x)}{a-x}
[/mm]
und der Punkt (13,8) ist als Dezimalzahl gemeint nicht als x un y Koordinate oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
Hallo
>
> Ich soll durch die Berechnung des einseitigen
> Differentialquotienten,untersuchen ob im Punkt (13,8) eine
> Tangente besitzt und weiters ob f(x) an der Stelle x=13
> stetig ist?
>
> Die funktion lautet f(x)= 3x-31.......x≤13
> [mm]\wurzel{5x-1}...............x>13[/mm]
Was ist das [mm] \sqrt{5x-1} [/mm] mit x>13? Was hat das mit der Aufgabenstellung zu tun.
>
> Doch was meinen die mit dem einseitigen
> Differentialquotienten? OB die Funktion eine Tangente
> besitzt ,seh ich doch ob der Differentialquotient existiert
> d.h [mm]\limes_{a\rightarrow\x}\bruch{f(a)-f(x)}{a-x}[/mm]
>
Im Prinzip ja, aber bei der Funktion
[mm] g(x):=\sqrt{3x-31} [/mm] ist die 13 die Randstelle des Definitionsbereiches, also kann ich mich der Steigung hier nur mit dem rechtsseitigen Differentialquotient nähern.
> und der Punkt (13,8) ist als Dezimalzahl gemeint nicht als
> x un y Koordinate oder?
Ich vermute, ja.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Hier scheint wohl folgendes gemeint zu sein:
[mm]f(x)=\begin{cases} 3x-31, & \mbox{fuer } x\le 13 \\
\wurzel{5x-1}, & \mbox{fuer } x>13 \end{cases}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Fr 22.04.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Hallo,
>
> Ich soll durch die Berechnung des einseitigen
> Differentialquotienten,untersuchen ob im Punkt (13,8) eine
> Tangente besitzt und weiters ob f(x) an der Stelle x=13
> stetig ist?
Fällt Dir irgendwas dazu ein, ob Stetigkeit und Differenzierbarkeit irgendwie zusammen hängen? 
>
> Die funktion lautet f(x)= 3x-31.......x≤13
> [mm]\wurzel{5x-1}...............x>13[/mm]
>
Du meinst vermutlich:
[mm] $f(x)=\begin{cases}
3x-31 & x\leq13\\
\sqrt{5x-1} & x>13\end{cases}$
[/mm]
> Doch was meinen die mit dem einseitigen
> Differentialquotienten? OB die Funktion eine Tangente
wie M.Rex schon gesagt hat ist 13 eine einseitige Randstelle und muss deshalb mit einem einseitigen GW betrachtet werden.
> besitzt ,seh ich doch ob der Differentialquotient existiert
> d.h [mm]\limes_{a\rightarrow\x}\bruch{f(a)-f(x)}{a-x}[/mm]
Genau.
>
> und der Punkt (13,8) ist als Dezimalzahl gemeint nicht als
> x un y Koordinate oder?
Nein, ich denke damit ist der Punkt $f(13)=8$ gemeint.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Fr 22.04.2011 | | Autor: | racy90 |
Ja wenn die Funktion differenzierbar ist ,muss sie auch stetig sein
Muss ich jetzt für die 2 Teile der Funktion den Differentialquotienten ausrechenn und schauen ob etwas sinnvolles hinauskommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ja wenn die Funktion differenzierbar ist ,muss sie auch
> stetig sein
So ist es.
>
> Muss ich jetzt für die 2 Teile der Funktion den
> Differentialquotienten ausrechenn und schauen ob etwas
> sinnvolles hinauskommt?
Was ist "was Sinnvolles"?
Damit die Funktion an der Stelle x=13 differenzierbar ist (Stetig ist sie, zeige das noch), müssen an der telle der rechts- und der linksseitige Differentianquotient den selben Wert annehmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 22.04.2011 | | Autor: | racy90 |
okay
Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\13} [/mm] 3x-31 (für links) =8
[mm] \limes_{x\rightarrow\13} \wurzel{5x-1} [/mm] (für rechts) =8 also ist sie stetig an der Stelle x=13
Differentialquotienten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\13} \bruch{(3x-31)-0}{x-13} [/mm] dann würde aber 8/0 rauskommen und das geht ja nicht
irgendwas rennt falsch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> okay
>
> Stetigkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\13}[/mm] 3x-31 (für links) =8
> [mm]\limes_{x\rightarrow\13} \wurzel{5x-1}[/mm] (für rechts) =8
> also ist sie stetig an der Stelle x=13
Das sieht gut aus.
>
> Differentialquotienten:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\13} \bruch{(3x-13)-0}{x-13}[/mm] dann
> würde aber 8/0 rauskommen und das geht ja nicht
>
> irgendwas rennt falsch!
Dann musst du ein wenig umformen.
>
Betrachte mal die etwas einfacher h-Methode, dort sieht man das Ziel, h aus dem Nenner kürzen zu können, eher:
[mm] \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{5(13+h)-1}-\sqrt{5\cdot13-1}}{h} [/mm]
(Rechtsseitiger Diff-Quot)
und
[mm] \lim_{h\to0}\frac{(3(13-h)-31)-(3\cdot31-31)}{h} [/mm]
(linksseitiger Diff-Quot)
Damit f an der Stelle x=13 diff-bar ist, müssen beide Grenzwerte übereinstimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:05 Sa 23.04.2011 | | Autor: | racy90 |
Sorry bisschen spät die Antwort
> [mm]\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{5(13+h)-1}-\sqrt{5\cdot13-1}}{h}[/mm]
> (Rechtsseitiger Diff-Quot)
komm ich dann auf [mm] \bruch{\wurzel{5h}}{h} [/mm] nachdem sich 8 verkürzt und von [mm] \bruch{\wurzel{5h}}{h} [/mm] der limes ist ja unendlich
[mm]\lim_{h\to0}\frac{(3(13-h)-31)-(3\cdot31-31)}{h}[/mm]
> (linksseitiger Diff-Quot)
Bei diesen klappt es und es kommt 3 heraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Marius hat sich vertan. Der rechtsseiteige Differenzenquotient lautet:
$ [mm] \frac{\sqrt{5(13+h)-1}-8}{h} [/mm] $ (h>0), denn f(13)=8
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Sa 23.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Marius hat sich vertan. Der rechtsseiteige
> Differenzenquotient lautet:
>
> [mm]\frac{\sqrt{5(13+h)-1}-8}{h}[/mm] (h>0), denn f(13)=8
Stimmt, sorry.
>
> FRED
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:23 Sa 23.04.2011 | | Autor: | racy90 |
ja okay so weit bin ich schon aber wenn man das unter der wurzel zusammenfasst kommt man auf [mm] (8+\wurzel{5h})/h [/mm] und davon den Limes gegen 0 = [mm] \infty [/mm] oder lieg ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja okay so weit bin ich schon aber wenn man das unter der
> wurzel zusammenfasst kommt man auf [mm](8+\wurzel{5h})/h[/mm] und
> davon den Limes gegen 0 = [mm]\infty[/mm] oder lieg ich falsch?
Ja, rechne mal hier vor.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Sa 23.04.2011 | | Autor: | racy90 |
naja das unter der Wurzel spar ich mir jetzt also
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}(8+\wurzel{5h})/h
[/mm]
naja der Nenner wird immer Kleiner also wird es als gesamtes Größer --> unendlich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> naja das unter der Wurzel spar ich mir jetzt also
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}(8+\wurzel{5h})/h[/mm]
Das ist falsch. Nein, spar Dir nichts, rechne hier ausfühlich vor, sonnst kann man Deine Fehler nicht finden !
FRED
>
> naja der Nenner wird immer Kleiner also wird es als
> gesamtes Größer --> unendlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Sa 23.04.2011 | | Autor: | racy90 |
also es steht im Zähler : [mm] \wurzel{5(13+h)-1}-8= \wurzel{65+5h-1}-8=8+5h-8=5h/h
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> also es steht im Zähler : [mm]\wurzel{5(13+h)-1}-8= \wurzel{65+5h-1}-8=8+5h-8=5h/h[/mm]
Au backe, hab ich mirs doch gedacht.
Bei Dir ist also [mm] \wurzel{64+5h}= [/mm] 8+5h
Das ist doch bodenloser Unsinn !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Sa 23.04.2011 | | Autor: | racy90 |
und wie löse ich das dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich komme auf
[mm] \bruch{\wurzel{64+5h}-8}{h}
[/mm]
Ein ganz furchtbar geheimer Geheimtipp, denn bislang noch niemals ein Mensch gesehen hat (aber weil Du es bist verrate ich Dir diesen geheimsten aller geheimen Geheimtipps):
erweitere mit [mm] \wurzel{64+5h}+8
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Sa 23.04.2011 | | Autor: | racy90 |
aso okay
danke
also kommt mir dann als endergebnis 5 heraus oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> aso okay
> danke
>
> also kommt mir dann als endergebnis 5 heraus oder?
Nein !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ich verrate Dir noch was aus meinem Geheimwissen: wenn Du einen Bruch a/b hast, so bedeutet
"erweitern mit c",
dass man Zähler und Nenner mit c multipliziert .
Gerade fällt mir ein: so geheim ist dieser Tipp nicht, denn als ich als kleiner Junge zur Schule ging, hat mein Lehrer das mal erwähnt.
FRED
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Es ist nicht nötig, den Differenzenquotienten selbst zu bemühen. Denn der ist ja längst bestimmt. Nämlich seit damals, als die Ableitungsregeln gezeigt wurden.
Nehmen wir die Funktion
[mm]\psi(x) = \sqrt{5x-1}[/mm] für [mm]x > \frac{1}{5}[/mm]
Sie ist differenzierbar, und man erhält
[mm]\psi'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{5x-1}}[/mm]
Speziell:
[mm]\psi'(13) = \frac{5}{16}[/mm]
Da [mm]\psi(x)[/mm] und [mm]f(x)[/mm] für [mm]x \geq 13[/mm] übereinstimmen, muß [mm]\frac{5}{16}[/mm] auch die rechtsseitige Ableitung von [mm]f[/mm] an der Stelle 13 sein. Denn zur Berechnung der rechtsseitigen Ableitung genügt eine beliebig kleine rechtsseitige Umgebung von 13.
[mm]\lim_{h \to 0, h>0} \frac{f(13+h)-f(13}{h} = \frac{5}{16}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 24.04.2011 | | Autor: | racy90 |
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