Eisenstein Integers < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 22.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Determine explicitly the groups of units [mm] \partial^{\*}_{K} [/mm] in the rings of integers of the following number fields.
a) K = [mm] \IQ(i)
[/mm]
b) K = [mm] \IQ(\sqrt{-3}) [/mm] |
Hallo zusammen
Zunächst mal, was ist die offizielle Bezeichnung/Schreibweise für [mm] \partial? [/mm] Ich finde das Symbol nicht.. es ist so ein fett gedrucktes, kleines o..
Dann.. ich habe Probleme an einer Stelle für Aufgabe b).. und zwar:
m = -3 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4). Hierraus folgt ja, dass [mm] \partial_{K} [/mm] = [mm] \IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right] [/mm] = [mm] \{\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3} | a,b \in \IZ\} [/mm] =: [mm] \IZ\left[\omega\right] [/mm]
Nun nehme ich ein [mm] \varepsilon \in \IZ[\omega], \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}
[/mm]
Dann ist die Norm [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] (\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))(\frac{a}{2}-(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))
[/mm]
Jetzt bekomme ich einen Ausdruck mit Vierteln usw.. aber das kann ja irgendwie nicht stimmen, da die Norm für diese Zahlen ja eigentlich gegeben sein sollte durch [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] a^{2}-ab+b^{2}.. [/mm] oder nicht?
Ich freue mich über jeden Hinweis :)
Grüsse, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> Determine explicitly the groups of units [mm]\partial^{\*}_{K}[/mm]
> in the rings of integers of the following number fields.
>
> a) K = [mm]\IQ(i)[/mm]
> b) K = [mm]\IQ(\sqrt{-3})[/mm]
> Hallo zusammen
>
> Zunächst mal, was ist die offizielle
> Bezeichnung/Schreibweise für [mm]\partial?[/mm] Ich finde das
> Symbol nicht.. es ist so ein fett gedrucktes, kleines o..
Vermutlich [mm] $\mathfrak{o}$. [/mm] Mache schreiben aber auch [mm] $\mathcal{O}$.
[/mm]
> Dann.. ich habe Probleme an einer Stelle für Aufgabe b)..
> und zwar:
>
> m = -3 [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4). Hierraus folgt ja, dass
> [mm]\partial_{K}[/mm] = [mm]\IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right][/mm] =
> [mm]\{\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3} | a,b \in \IZ\}[/mm] =:
> [mm]\IZ\left[\omega\right][/mm]
Vorsicht, das stimmt nicht! Der Ausdruck ist nicht [mm] $\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}$, [/mm] sondern [mm] $\frac{a}{2}+b (1+\frac{1}{2})\sqrt{-3}$. [/mm] Ansonsten kommst du auf nichts mit Norm [mm] $\pm [/mm] 1$, und nichtmals 1 liegt drinnen.
> Nun nehme ich ein [mm]\varepsilon \in \IZ[\omega], \varepsilon[/mm]
> = [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm]
>
> Dann ist die Norm [mm]N(\varepsilon)[/mm] =
> [mm](\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))(\frac{a}{2}-(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))[/mm]
Ja. Und das ist gleich [mm] $\tfrac{1}{4} a^2 [/mm] + 3 (b + [mm] \tfrac{1}{2})^2$. [/mm]
> Jetzt bekomme ich einen Ausdruck mit Vierteln usw.. aber
> das kann ja irgendwie nicht stimmen, da die Norm für diese
> Zahlen ja eigentlich gegeben sein sollte durch
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm]a^{2}-ab+b^{2}..[/mm] oder nicht?
Naja, die Norm ist fuer ein Element $a + b [mm] \sqrt{-3} \in [/mm] K$ durch [mm] $a^2 [/mm] + 3 [mm] b^2$ [/mm] gegeben. Du hast hier aber ein Element [mm] $\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Do 22.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
>
> Vorsicht, das stimmt nicht! Der Ausdruck ist nicht
> [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm], sondern [mm]\frac{a}{2}+b (1+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm].
> Ansonsten kommst du auf nichts mit Norm [mm]\pm 1[/mm], und
> nichtmals 1 liegt drinnen.
Hmm.. ich dacht schon da wär was faul, als ich das von der Tafel notiert hab.. bin ich aber froh haste den Fehler bemerkt!
Dann mach ich mich mal daran, die Einheiten zu finden.. mal schauen wie gut das geht :)
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 22.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix
> >
> > m = -3 [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4). Hierraus folgt ja, dass
> > [mm]\partial_{K}[/mm] = [mm]\IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right][/mm] =
> > [mm]\{\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3} | a,b \in \IZ\}[/mm] =:
> > [mm]\IZ\left[\omega\right][/mm]
>
> Vorsicht, das stimmt nicht! Der Ausdruck ist nicht
> [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm], sondern [mm]\frac{a}{2}+b (1+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm].
> Ansonsten kommst du auf nichts mit Norm [mm]\pm 1[/mm], und
> nichtmals 1 liegt drinnen.
>
> > Nun nehme ich ein [mm]\varepsilon \in \IZ[\omega], \varepsilon[/mm]
> > = [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm]
> >
> > Dann ist die Norm [mm]N(\varepsilon)[/mm] =
> >
> [mm](\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))(\frac{a}{2}-(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))[/mm]
>
> Ja. Und das ist gleich [mm]\tfrac{1}{4} a^2 + 3 (b + \tfrac{1}{2})^2[/mm].
>
> > Jetzt bekomme ich einen Ausdruck mit Vierteln usw.. aber
> > das kann ja irgendwie nicht stimmen, da die Norm für diese
> > Zahlen ja eigentlich gegeben sein sollte durch
> > [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm]a^{2}-ab+b^{2}..[/mm] oder nicht?
>
> Naja, die Norm ist fuer ein Element [mm]a + b \sqrt{-3} \in K[/mm]
> durch [mm]a^2 + 3 b^2[/mm] gegeben. Du hast hier aber ein Element
> [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm].
Jetzt ganz schnell.. meinst du jetzt nur, dies würde stimmen, vorausgesetzt mein Ausdruck oben wäre richtig gewesen, oder stimmt dies tatsächlich?
Ich möchte mich nur absichern.. aber dieser Ausdruck setzt ja voraus, meine obige Darstellung hätte keine Fehler beinhaltet.. :)
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> > > m = -3 [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4). Hierraus folgt ja, dass
> > > [mm]\partial_{K}[/mm] = [mm]\IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right][/mm] =
> > > [mm]\{\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3} | a,b \in \IZ\}[/mm] =:
> > > [mm]\IZ\left[\omega\right][/mm]
> >
> > Vorsicht, das stimmt nicht! Der Ausdruck ist nicht
> > [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm], sondern [mm]\frac{a}{2}+b (1+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm].
Sorry, da hab ich mich auch vertan: der Ausdruck sollte [mm] $\frac{a}{2} [/mm] + b [mm] \frac{1 + \sqrt{-3}}{2}$ [/mm] sein! Also anders gekammert.
> > Ansonsten kommst du auf nichts mit Norm [mm]\pm 1[/mm], und
> > nichtmals 1 liegt drinnen.
> >
> > > Nun nehme ich ein [mm]\varepsilon \in \IZ[\omega], \varepsilon[/mm]
> > > = [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm]
> > >
> > > Dann ist die Norm [mm]N(\varepsilon)[/mm] =
> > >
> >
> [mm](\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))(\frac{a}{2}-(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))[/mm]
> >
> > Ja. Und das ist gleich [mm]\tfrac{1}{4} a^2 + 3 (b + \tfrac{1}{2})^2[/mm].
> >
> > > Jetzt bekomme ich einen Ausdruck mit Vierteln usw.. aber
> > > das kann ja irgendwie nicht stimmen, da die Norm für diese
> > > Zahlen ja eigentlich gegeben sein sollte durch
> > > [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm]a^{2}-ab+b^{2}..[/mm] oder nicht?
> >
> > Naja, die Norm ist fuer ein Element [mm]a + b \sqrt{-3} \in K[/mm]
> > durch [mm]a^2 + 3 b^2[/mm] gegeben. Du hast hier aber ein Element
> > [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}[/mm].
>
> Jetzt ganz schnell.. meinst du jetzt nur, dies würde
> stimmen, vorausgesetzt mein Ausdruck oben wäre richtig
> gewesen, oder stimmt dies tatsächlich?
Es (also dass die Norm [mm] $(\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))(\frac{a}{2}-(b+\frac{1}{2})\sqrt{-3}))$ [/mm] ist) wuerde stimmen, wenn dein Ausdruck richtig gewesen waere.
> Ich möchte mich nur absichern.. aber dieser Ausdruck setzt
> ja voraus, meine obige Darstellung hätte keine Fehler
> beinhaltet.. :)
Berechne [mm] $N(\frac{a}{2} [/mm] + b [mm] \frac{1 + \sqrt{-3}}{2})$ [/mm] und arbeite damit. Es wird irgendwas von der Form $... [mm] a^2 [/mm] + ... [mm] b^2$ [/mm] herauskommen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
> sqrt
> Der Ausdruck ist nicht
> [mm]\frac{a}{2}+(b+\frac{1}{2})\wurzel{-3}[/mm], sondern [mm]\frac{a}{2}+b (1+\frac{1}{2})\wurzel{-3}[/mm].
Ich befürchte (ansonsten habe ich etwas wirklich nicht kapiert..), da befindet sich immernoch ein Fehler in diesem Ausdruck.
Ich bin in [mm] \IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right]. [/mm] Das hat somit die basis [mm] \{1,\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\}
[/mm]
Somit müsste ein Element [mm] \varepsilon \in \IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right] [/mm] so aussehen: [mm] \varepsilon [/mm] = a + [mm] b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}), [/mm] oder nicht?
Ich arbeite also mit diesem Ausdruck und erhalte:
[mm] N(\varepsilon) [/mm] = (a + [mm] b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}))(a [/mm] - [mm] b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})) [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}) \overset{!}{=} \pm [/mm] 1
Offensichtlich erfüllen die Paare (a,b) = (1,0), (-1,0) diese Bedingung.
Jetzt muss ich die weiteren Lösungen finden.. ich dachte ich versuche es mit Polarkoordinaten, doch bin ich mir nicht sicher, ob ich so auch die Vollständigkeit zeigen kann..
(Mir ist bewusst, wie die Lösungen aussehen müssen, da diese Zahlen ja relativ bekannt sind.. doch ich wüde gerne ohne "Vorwissen" an die Lösungen gelangen..)
Danke an euch Helfer :)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Somit müsste ein Element [mm]\varepsilon \in \IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right][/mm]
> so aussehen: [mm]\varepsilon[/mm] = a + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}),[/mm]
> oder nicht?
Sehe ich auch so.
> Ich arbeite also mit diesem Ausdruck und erhalte:
>
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] = (a + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}))(a[/mm] -
> [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}))[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] +
> [mm]b^{2}(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}) \overset{!}{=} \pm[/mm] 1
Wieso definierst du die Norm so? Sollte die Norm nicht nach [m]\IZ[/m] gehen und multiplikativ sein? Wieso dann nicht [m]N(e)=z*\overline{z}[/m], also Norm-Quadrat in [m]\IC[/m]?
> Offensichtlich erfüllen die Paare (a,b) = (1,0), (-1,0)
> diese Bedingung.
b muss auch zwangsläufig 0 sein, dann bleibt für a nur [m]\pm 1[/m].
> Jetzt muss ich die weiteren Lösungen finden.. ich dachte
> ich versuche es mit Polarkoordinaten, doch bin ich mir
> nicht sicher, ob ich so auch die Vollständigkeit zeigen
> kann..
Öhm. Interessant ...
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey
> > Somit müsste ein Element [mm]\varepsilon \in \IZ\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right][/mm]
> > so aussehen: [mm]\varepsilon[/mm] = a + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}),[/mm]
> > oder nicht?
>
> Sehe ich auch so.
>
> > Ich arbeite also mit diesem Ausdruck und erhalte:
> >
> > [mm]N(\varepsilon)[/mm] = (a + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}))(a[/mm] -
> > [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}))[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] +
> > [mm]b^{2}(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}) \overset{!}{=} \pm[/mm] 1
>
> Wieso definierst du die Norm so? Sollte die Norm nicht nach
> [m]\IZ[/m] gehen und multiplikativ sein? Wieso dann nicht
> [m]N(e)=z*\overline{z}[/m], also Norm-Quadrat in [m]\IC[/m]?
Das ist nicht meine eigene Definition.. die Norm eines Elements [mm] \varepsilon [/mm] = x + [mm] y\sqrt{d} [/mm] in einem Quadratischen Zahlkörper [mm] \IQ(\sqrt{d}) [/mm] wurde definiert als [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] (x+y\sqrt{d})(x-y\sqrt{d}) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2}d
[/mm]
(unabhängig von d)
Und diese Norm überträgt sich dann auch auf die ganzen Zahlen von [mm] \IQ(\sqrt{d}), [/mm] oder nicht?
>
> > Offensichtlich erfüllen die Paare (a,b) = (1,0), (-1,0)
> > diese Bedingung.
>
> b muss auch zwangsläufig 0 sein, dann bleibt für a nur
> [m]\pm 1[/m].
>
> > Jetzt muss ich die weiteren Lösungen finden.. ich dachte
> > ich versuche es mit Polarkoordinaten, doch bin ich mir
> > nicht sicher, ob ich so auch die Vollständigkeit zeigen
> > kann..
>
> Öhm. Interessant ...
Ehm.. wasn? ^^
>
> SEcki
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das ist nicht meine eigene Definition.. die Norm eines
> Elements [mm]\varepsilon[/mm] = x + [mm]y\sqrt{d}[/mm] in einem Quadratischen
> Zahlkörper [mm]\IQ(\sqrt{d})[/mm] wurde definiert als
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm](x+y\sqrt{d})(x-y\sqrt{d})[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] -
> [mm]y^{2}d[/mm]
> (unabhängig von d)
> Und diese Norm überträgt sich dann auch auf die ganzen
> Zahlen von [mm]\IQ(\sqrt{d}),[/mm] oder nicht?
Doch, genau - aber genau meine Rede! d ist eine rationale Zahl, und du adjungierst die Wurzel einer rationalen Zahl - in unserem Fall mit echt komplexer Wurzel, ergibt die Norm dann genau meinen Vorschlag - und nicht deinen. Schau dir doch einmal an, wo dass Minus-Zeichen jeweils ist.
> > > Jetzt muss ich die weiteren Lösungen finden.. ich dachte
> > > ich versuche es mit Polarkoordinaten, doch bin ich mir
> > > nicht sicher, ob ich so auch die Vollständigkeit zeigen
> > > kann..
> >
> > Öhm. Interessant ...
>
> Ehm.. wasn? ^^
Naja, mach mal, interssiert mich.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
Ich muss sagen, es sieht schon bedeutend besser aus ^^ Danke dafür :)
> d ist eine rationale
> Zahl, und du adjungierst die Wurzel einer rationalen Zahl -
> in unserem Fall mit echt komplexer Wurzel, ergibt die Norm
> dann genau meinen Vorschlag
Ich hoffe deinen Vorschlag richtig umzusetzen.. :
[mm] \varepsilon [/mm] = a + [mm] b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}) \Rightarrow N(\varepsilon) [/mm] = (a + [mm] b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})(a [/mm] + [mm] b(\frac{1-\sqrt{-3}}{2}) [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + ab + [mm] b^{2} \overset{!}{=} \pm [/mm] 1
Dies gilt für (a,b) = (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,-1),(-1,1)
Doch sollte das stimmen, wie zeige ich die Vollständigkeit?
>
> SEcki
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Sa 24.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> Ich hoffe deinen Vorschlag richtig umzusetzen.. :
>
> [mm]\varepsilon[/mm] = a + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}) \Rightarrow N(\varepsilon)[/mm]
> = (a + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})(a[/mm] +
> [mm]b(\frac{1-\sqrt{-3}}{2})[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] + ab + [mm]b^{2} \overset{!}{=} \pm[/mm]
> 1
>
> Dies gilt für (a,b) =
> (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,-1),(-1,1)
>
>
> Doch sollte das stimmen, wie zeige ich die
> Vollständigkeit?
Wenn $|a| > 1$ und $|b| > 1$ ist, kann das nur erfuellt werden, wenn $a b < 0$ ist: andernfalls ist [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] > 1$. Es gilt dann offensichtlich [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] > [mm] a^2 [/mm] + 2 a b + [mm] b^2 [/mm] = (a + [mm] b)^2$. [/mm] Es kann also nur [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ sein, wenn $a + b = 0$ ist und [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] = 1$. Wenn man jetzt jedoch $b = -a$ einsetzt, steht da [mm] $a^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] = 1$, also $a = [mm] \pm [/mm] 1$, ein Widerspruch.
LG Felix
|
|
|
|
