Eisenstein im Körper? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:18 Do 30.09.2010 | | Autor: | T_sleeper |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] X^{p}+pX+1 [/mm] irreduzibel über [mm] \mathbb{Q} [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe dazu mal eine Lösung gesehen. Man macht Koeffizientenreduktion mod p. Dies liefert [mm] X^{p}+1. [/mm] Jetzt betrachtet man [mm] X\mapsto [/mm] X+1. Mit Frobenius führt dies zu [mm] X^{p}+2. [/mm] Mit Eisenstein und p=2 folgt die Behauptung.
Das Problem an der Sache für mich ist das folgende: Das Eisenstein-Kriterium gilt für faktorielle Ringe. p muss darin prim sein. Nun ist es aber so, dass wir am Ende Eisenstein im faktoriellen Ring [mm] \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} [/mm] anwenden, was bekanntlich ein Körper ist. In diesem Körper ist 2 eine Einheit, also nicht irreduzibel und auch nicht prim. Insbesondere stellt sich mir sowieso die Frage, ob man in Körpern von primen Elementen reden kann?
Allerdings wäre dann das Eisenstein-Kriterium nicht anwendbar.
Ist das eine falsche Sichtweise? Allerdings sehe ich keine Möglichkeit es anders zu beweisen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Do 30.09.2010 | | Autor: | T_sleeper |
Hat sich erledigt. Man kann es zeigen mit [mm] X\mapsto [/mm] X-1, wenn p ungerade Primzahl ist, was es aber auch sein sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hat sich erledigt. Man kann es zeigen mit [mm]X\mapsto[/mm] X-1,
> wenn p ungerade Primzahl ist, was es aber auch sein sollte.
Der Titel der Diskussion bringt mich auch nach 5 Stunden noch zum Schmunzeln.
"Eisenstein im Körper"
klingt für jeden Außenstehenden so medizinisch wie
"Nierensteine im Harnleiter"
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