Eisensteinkriterium < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Sa 15.09.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Eisensteinkriterium:
Sei $R$ ein faktorieller Ring und $f = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_iX^i \in [/mm] R[x]$ von positivem Grad mit teilerfremden Koeffizienten. Gibt es ein Primelement $p [mm] \in [/mm] R$ mit $p$ teilt nicht [mm] $a_n$, [/mm] $p$ teilt [mm] $a_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{0,...,n-1\}$ [/mm] und $p$ teilt nicht [mm] $a_0$, [/mm] so ist f irreduzibel in $R[x]$. |
Hallo,
kurze Frage dazu: Wir haben immer bei irreduziblen Polynomen $f [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] gezeigt, dass die in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] nach Eisenstein irreduzibel sind und haben dann mit Gauß geschlossen, dass diese auch in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] irreduzibel sind.
Nun ist doch dieser "Umweg" gar nicht nötig. Denn [mm] \IQ [/mm] ist doch als Körper ein Hauptidealring und somit auch ein faktorieller Ring. Also ist doch Eisenstein direkt anwendbar, oder?
Hat der "Umweg" irgendeinen didaktischen Hintergrund, den man kennen sollte?
Vielen Dank
Grüße
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Was sind denn Primelemente in [mm] \IQ [/mm] ? Und selbst wenn es ein Primelement p in [mm] \IQ [/mm] gäbe, wie sollte es [mm] a_{n} [/mm] nicht teilen? Es wäre doch invertierbar.
Ein Körper hat keine Primelemente...
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