Elektrisches Potenzial, allg. < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mo 07.05.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei eine homogen geladene (zweidimensionale) kreisförmige Scheibe vom
Radius R mit der Ladungsdichte [mm] $\varrho_f \equiv \mathrm{const.}$ [/mm] Sie liege in der $xy$-Ebene mit dem
Mittelpunkt im Ursprung.
Berechnen Sie das Potenzial [mm] $\Phi$ [/mm] an einem Punkt $P$ auf der $z$-Achse ($z [mm] \neq [/mm] 0$), indem Sie das entsprechende Integral lösen. Hinweis: Formal lässt sich die Flächendichte mit Hilfe der [mm] $\delta$-Funktion [/mm] ausdrücken als: [mm] $\varrho_V \left(x', y', z'\right) [/mm] = [mm] \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)$. [/mm] |
Hallo, ihr Helfenden!
Vorweg:
Ein dickes Lob an alle Geduldigen und Motivierten, die es immer wieder schaffen für mich Licht ins (physikalisch-mathematische) Dunkele zu bringen! Außerdem ist der Aufbau der Seite dieses Forums übersichtlich -im Gegensatz zu manch anderen Foren. Meine ich ernst! 'Möchte ich ja mal anmerken. So, genug geschleimt... ;o)
Also, folgende Funktion (elektrisches Potenzial) ist allgemein gegeben:
[mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_V \varrho_V \left(\vec {r}\,'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}^3\,r\,'
[/mm]
Zu sehen ist, dass das Potenzial nur von [mm] $\vec [/mm] r$ abhängig sein kann, da [mm] $\Phi \left(\vec r\right)$!
[/mm]
Nun lese ich im Skript, das aber auch die Ladungsdichte selbst nur von [mm] $\vec{r}\,'$ [/mm] abhängig ist und dies natürlich im Integranden steht.
Diese "Weisheit" entnehme ich aus dem Skript der Lehrveranstaltung,
ich zitiere:
"...wobei die Orte an denen Ladungen
gesucht werden im Integranden mit den Koordinaten [mm] $\vec {r}\,'$ [/mm] angesprochen werden."
***Zitatende***
Erste Frage:
Muss ich nun zuerst die Delta-Distribution entsprechend nach $z'$ integrieren (da $x'$ und $y'$ entsprechend konstant sind!) und danach dann nach [mm] $\vec [/mm] r$?
Zweite Frage:
Oder ist die erste Frage Blödsinn, weil streng genommen der Ausdruck [mm] $\vec{r}\,'$ [/mm] "nur" die zu intergrierende Variable [mm] $\vec [/mm] r$ ist um die Integrationsgrenzen besser unterscheiden zu können?
Danke für eure Tipps und Hinweise!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mo 07.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei eine homogen geladene (zweidimensionale)
> kreisförmige Scheibe vom
> Radius R mit der Ladungsdichte [mm]\varrho_f \equiv \mathrm{const.}[/mm]
> Sie liege in der [mm]xy[/mm]-Ebene mit dem
> Mittelpunkt im Ursprung.
>
> Berechnen Sie das Potenzial [mm]\Phi[/mm] an einem Punkt [mm]P[/mm] auf der
> [mm]z[/mm]-Achse ([mm]z \neq 0[/mm]), indem Sie das entsprechende Integral
> lösen. Hinweis: Formal lässt sich die Flächendichte mit
> Hilfe der [mm]\delta[/mm]-Funktion ausdrücken als: [mm]\varrho_V \left(x', y', z'\right) = \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)[/mm].
>
>
>
>
>
>
>
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> Hallo, ihr Helfenden!
>
> Vorweg:
> Ein dickes Lob an alle Geduldigen und Motivierten, die es
> immer wieder schaffen für mich Licht ins
> (physikalisch-mathematische) Dunkele zu bringen! Außerdem
> ist der Aufbau der Seite dieses Forums übersichtlich -im
> Gegensatz zu manch anderen Foren. Meine ich ernst! 'Möchte
> ich ja mal anmerken. So, genug geschleimt... ;o)
>
>
> Also, folgende Funktion (elektrisches Potenzial) ist
> allgemein gegeben:
>
> [mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_V \varrho_V \left(\vec {r}\,'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}^3\,r\,'
[/mm]
>
> Zu sehen ist, dass das Potenzial nur von [mm]\vec r[/mm] abhängig
> sein kann, da [mm]\Phi \left(\vec r\right)[/mm]!
richtig, das Potential hängt nur von den ungestrichenen Ortskoordinaten ab. Das ist ja auch anschaulich verständlich, denn eine Ladung erzeugt an verschiedenen Orten ja in der Regel ein unterschiedliches Potential.
>
> Nun lese ich im Skript, das aber auch die Ladungsdichte
Was heißt 'auch'? Im Gegensatz zu den ungestrichenen Koordinaten beschreiben die gestrichenen den Ort der Ladung.
> selbst nur von [mm]\vec{r}\,'[/mm] abhängig ist und dies natürlich
> im Integranden steht.
> Diese "Weisheit" entnehme ich aus dem Skript der
> Lehrveranstaltung,
>
> ich zitiere:
>
> "...wobei die Orte an denen Ladungen
> gesucht werden im Integranden mit den Koordinaten [mm]\vec {r}\,'[/mm]
> angesprochen werden."
> ***Zitatende***
>
> Erste Frage:
>
> Muss ich nun zuerst die Delta-Distribution entsprechend
> nach [mm]z'[/mm] integrieren (da [mm]x'[/mm] und [mm]y'[/mm] entsprechend konstant
> sind!) und danach dann nach [mm]\vec r[/mm]?
>
Nein, es macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn "nach [mm]\vec r[/mm]" zu integrieren (weil das Potential eine skalare Größe ist) und nach ungestrichenen Koordinaten wird gar nicht integriert. Von denen soll das Potential ja abhängen.
Zur Notation:
[mm] $\int\,\mathrm{d}^3 r'=\iiint\,\mathrm{d} x'\mathrm{d} y'\mathrm{d} [/mm] z'$
>
>
> Zweite Frage:
>
> Oder ist die erste Frage Blödsinn, weil streng genommen
> der Ausdruck [mm]\vec{r}\,'[/mm] "nur" die zu intergrierende
> Variable [mm]\vec r[/mm] ist um die Integrationsgrenzen besser
> unterscheiden zu können?
>
Nein, im Allgemeinen gilt: [mm] $\vec{r}\,'\neq\vec{r}$
[/mm]
>
>
> Danke für eure Tipps und Hinweise!
>
>
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 07.05.2012 | | Autor: | murmel |
Nochmal zum Verständnis:
Stimmt es,
i) dass die Delta-Distr. eine mathematische Beschreibung für die Darstellung eines Ortes bzw. Bereiches einer/ mehrerer diskreter Ladungen oder für kontinuierliche Ladungsverteilungen ist?
ii) dass das "kryptische" [mm] $\delta \left(z'\right)$ [/mm] (aus den Angaben der Aufgabenstellung) eine andere mathmatische Beschreibung für den Ausdruck [mm] &\delta \left(z'\right) \equiv \delta \left(z' - z \right) [/mm] ist?
ii.i) dass aus ii) lediglich $z'$ die nach der zu integrierenden Variable ist?
Ich habe da noch Schwierigkeiten!
Ok, muss das Ganze denn so aussehen, mit [mm] $\varrho_V \left(\vec {r}\,'\right) [/mm] = [mm] \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)$:
[/mm]
[mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_V \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}^3\,r\,'
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 07.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Nochmal zum Verständnis:
> Stimmt es,
>
> i) dass die Delta-Distr. eine mathematische Beschreibung
> für die Darstellung eines Ortes bzw. Bereiches einer/
> mehrerer diskreter Ladungen oder für kontinuierliche
> Ladungsverteilungen ist?
Zunächst mal hat die Delta-Distribution nichts mit Ladungen zu tun - das ist nur die pysikalische Anwendung.
Sie ist, einfach gesagt, eine Verallgemeinerung des Kronecker-Deltas auf einen kontinuierlichen Definitionsbereich. Aber viel mehr kann ich Dir dazu nicht sagen, ich bin kein Mathematiker.
>
> ii) dass das "kryptische" [mm]\delta \left(z'\right)[/mm] (aus den
> Angaben der Aufgabenstellung) eine andere mathmatische
> Beschreibung für den Ausdruck [mm]&\delta \left(z'\right) \equiv \delta \left(z' - z \right)[/mm]
> ist?
Nein, allgemein gilt: [mm] $\delta \left(z'\right) \neq \delta \left(z' - z \right)$
[/mm]
>
> ii.i) dass aus ii) lediglich [mm]z'[/mm] die nach der zu
> integrierenden Variable ist?
Ich kann unter ii) kein Integral finden, also gibts da auch keine zu integrierende Variable.
>
>
> Ich habe da noch Schwierigkeiten!
>
Im Prinzip ist alles, was Du für die Physik wissen musst folgendes:
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)\,\mathrm{d}x=f(0)$
[/mm]
bzw. etwas allgemeiner:
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)f(x)\,\mathrm{d}x=f(x_0)$
[/mm]
Ansonsten kannst Du ganz normal integrieren.
>
> Ok, muss das Ganze denn so aussehen, mit [mm]\varrho_V \left(\vec {r}\,'\right) = \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)[/mm]:
>
> [mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_V \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}^3\,r\,'
[/mm]
Ja.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 07.05.2012 | | Autor: | murmel |
Hallo notinX und alle anderen,
Danke für deine von mir aus interpretierte Geduld (vielleicht sitzt du ja auch am Rechner und denkst "Mann, was ist das den für eine depperte Person... ." Hoffentlich nicht -lol)
Also aus ii) meinte ich, diesen Ausdruck
[mm] \Phi \left(\vec r\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_V \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}^3\,r\,'
[/mm]
Noch eine Frage: die Fläche als solches ist ja konstant (Aufgabe). $R$ ist gegeben. Mein Bauch sagt mir, das ich diese "Konstante" vors Integral (nachstehend) ziehen kann, da ich NICHT von 0 bis $R$ integrieren muss(?), oder müsste ich dann auch die Koordinaten wechseln?
Momentan herrscht immernoch ein ziemliches Chaos in meinem Kopf betreffend dieser physikalisch-mathematischen Sachverhalte.
Hier würden sich Zylinderkoordinaten anbieten, obwohl das zu ermittelende Potenzial ja eigentlich nur von Null bis zum Punkt $P = (0,0, z'_p)$ ermittelt werden soll.
Anonsten einfach nur nach $z'$ integrieren, da $x' = y' = 0$ sind.
[mm] \Phi \left(\vec r\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\pi R^2\,\int_0^{z'_p} \,\bruch{1}{\left| \left(x - 0 \right)^2 + \left(y - 0 \right)^2 + \left(z - z' \right)^2\right|}\, \mathrm{d}\,z\,' [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mo 07.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinX und alle anderen,
>
> Danke für deine von mir aus interpretierte Geduld
> (vielleicht sitzt du ja auch am Rechner und denkst "Mann,
> was ist das den für eine depperte Person... ." Hoffentlich
> nicht -lol)
Nein, das denke ich nicht. Ich halte mich nicht für so kompetent oder was auch immer, dass ich mir so eine Aussage erlauben könnte. Wir sind ja hier um was zu lernen :)
Manchmal sieht man auch den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber auch das ist keine Schande. Geht mir (und ich schätze den meisten anderen auch) auch oft genug so.
>
> Also aus ii) meinte ich, diesen Ausdruck
>
> [mm]\Phi \left(\vec r\right)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_V \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}^3\,r\,'[/mm]
>
> Noch eine Frage: die Fläche als solches ist ja konstant
> (Aufgabe). [mm]R[/mm] ist gegeben. Mein Bauch sagt mir, das ich
Ich weiß nicht genau, was Du mit konstanter Fläche meinst. In der Aufgabenstellung steht, dass die Flächenladungsdichte konstant ist und die Ladung homogen auf der Kreisfläche verteilt ist.
> diese "Konstante" vors Integral (nachstehend) ziehen kann,
> da ich NICHT von 0 bis [mm]R[/mm] integrieren muss(?), oder müsste
> ich dann auch die Koordinaten wechseln?
Konstanten kann man immer vors Integral ziehen. Dadurch änder sich aber niemals der Integrationsbereich.
Das Integral, das zu berechnen ist lautet:
[mm] $\Phi \left(\vec r\right)=\bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \varrho_f \left(x', y'\right) \cdot \delta \left(z'\right)\,\bruch{1}{\left| \vec r - \vec{r}\,' \right|}\, \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'\mathrm{d}z'$
[/mm]
Bedenke aber, dass die konstante Ladungsdichte sich nur über eine Kreisscheibe mit dem Radius R erstreckt. Wenn Du jetzt:
$ [mm] \varrho_f \left(x', y'\right) [/mm] =konst.$
setzt, gehst Du ja beim Integrieren davon aus, dass sich die Flächenladungsdichte über die gesamte x-y-Ebene erstreckt. Das tut sie aber nicht.
Um das zu lösen, kannst Du entweder einfach sagen:
[mm] $\varrho_f(x',y')=\begin{cases}
\varrho_0 & |\vec{r}\,'|\leq R\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$
[/mm]
Damit verändern sich die Integrationsgrenzen. Oder Du führst Heavisidefunktionen ein, was aber rechnerisch auf das Gleiche hinausläuft.
> Momentan herrscht immernoch ein ziemliches Chaos in meinem
> Kopf betreffend dieser physikalisch-mathematischen
> Sachverhalte.
>
> Hier würden sich Zylinderkoordinaten anbieten, obwohl das
Kann sein, dass das hilfreich ist, ich habe es noch nicht ausgerechnet.
> zu ermittelende Potenzial ja eigentlich nur von Null bis
> zum Punkt [mm]P = (0,0, z'_p)[/mm] ermittelt werden soll.
Das Potential ist auf der z-Achse zu bestimmen, also:
[mm] $\Phi(0,0,z)$
[/mm]
>
> Anonsten einfach nur nach [mm]z'[/mm] integrieren, da [mm]x' = y' = 0[/mm]
> sind.
Das stimmt nicht. Es ist über alle drei Raumkoordinaten zu integrieren und allgemein gilt auch nicht: $x' = y' = 0$
>
>
> [mm]\Phi \left(\vec r\right)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\pi R^2\,\int_0^{z'_p} \,\bruch{1}{\left| \left(x - 0 \right)^2 + \left(y - 0 \right)^2 + \left(z - z' \right)^2\right|}\, \mathrm{d}\,z\,'[/mm]
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 07.05.2012 | | Autor: | notinX |
Ach ja: Benutzung von Zylinderkoordinaten lohnt sich 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 07.05.2012 | | Autor: | murmel |
Ich hoffe, dass wir uns gerade nicht falsch verstehen, aber mit "konstant" meine ich betreffend der Aufgabenstellung für den gegebenen Punkt... .
Achso, das heißt, das man sich jetzt einfach einen beliebigen Punkt herausgreift (wie den auf der $z$-Achse) und untersucht, dann wird das wohl nicht Null.
Ok, wenn das über Zylinderkoordinaten zu integrieren ist, wird das wohl etwas schwerer.
Ist dann etwa für die Ladungsdichte auf der Kreisfläche:
[mm]
\varrho\left(x',y'\right) = \varrho_0\,\pi \left(x'^2 + y'^2 \right) \mapsto \varrho \left(r'\ight) = \varrho_0\,\pi r'^2
[/mm]
Jedoch müsste dann [mm] $\mathrm{d}V [/mm] = [mm] r'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z'\,$ [/mm] für das Integral sein.
Ist diese Denkweise denn richtig?
Also aus:
[mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi\,\varepsilon_0}\, \int_V \varrho \left(x'\,y'\right) \cdot \delta \left( z' \right) \bruch{1}{\left| \left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2 \right|}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
[/mm]
wird dann:
[mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi\,\varepsilon_0}\, \int_V \varrho \left(r'\right) \cdot \delta \left( z' \right) \bruch{1}{\left| \left(r\,\cos \varphi - r'\,\cos \varphi \right)^2 + \left(r\,\sin \varphi - r'\,\sin \varphi\right)^2 + \left(z - z'\right)^2 \right|}\, r'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z'
[/mm]
Dank' dir!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 07.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Ich hoffe, dass wir uns gerade nicht falsch verstehen, aber
> mit "konstant" meine ich betreffend der Aufgabenstellung
> für den gegebenen Punkt... .
Es macht keinen Sinn von Konstanz in einem Punkt zu sprechen (sofern es keine Zeitabhängigkeit gibt). Jede Funktion ist in einem Punkt konstant.
>
> Achso, das heißt, das man sich jetzt einfach einen
> beliebigen Punkt herausgreift (wie den auf der [mm]z[/mm]-Achse) und
> untersucht, dann wird das wohl nicht Null.
>
> Ok, wenn das über Zylinderkoordinaten zu integrieren ist,
> wird das wohl etwas schwerer.
Nein, es wird leichter (zumindest finde ich das). Du musst nicht, wenn es Dir in kartesischen Koordinaten leichter fällt, nimm die.
>
> Ist dann etwa für die Ladungsdichte auf der Kreisfläche:
>
> [mm]
\varrho\left(x',y'\right) = \varrho_0\,\pi \left(x'^2 + y'^2 \right) \mapsto \varrho \left(r'\ight) = \varrho_0\,\pi r'^2
[/mm]
>
Nein. Schau Dir nochmal die Definition der Ladungsdichte an. Außerdem steht doch in der Aufgabenstellung, dass sie konstant ist. Deine ist aber nicht konstant.
>
> Jedoch müsste dann [mm]\mathrm{d}V = r'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z'\,[/mm]
> für das Integral sein.
Verpass dem [mm] $\varphi$ [/mm] auch noch einen Strich.
>
> Ist diese Denkweise denn richtig?
>
> Also aus:
>
> [mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi\,\varepsilon_0}\, \int_V \varrho \left(x'\,y'\right) \cdot \delta \left( z' \right) \bruch{1}{\left| \left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2 \right|}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
[/mm]
Auch hier wird nach den gestrichenen Variablen integriert und was ist denn da im Nenner passiert?
[mm] $\left| \vec r - \vec{r}\,' \right| \neq \left| \left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2 \right|$
[/mm]
>
>
> wird dann:
>
>
> [mm]
\Phi \left(\vec r\right) = \bruch{1}{4 \pi\,\varepsilon_0}\, \int_V \varrho \left(r'\right) \cdot \delta \left( z' \right) \bruch{1}{\left| \left(r\,\cos \varphi - r'\,\cos \varphi \right)^2 + \left(r\,\sin \varphi - r'\,\sin \varphi\right)^2 + \left(z - z'\right)^2 \right|}\, r'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z'
[/mm]
Abgesehen von den anderen Koorekturen, bedenke, dass Du das Potential entlang der z-Achse berechnen sollst.
>
> Dank' dir!
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mo 07.05.2012 | | Autor: | murmel |
Ohh,...mmmh,...shit happens. xD
Ich meine natürlich
[mm] $\sqrt{\left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Ohh,...mmmh,...shit happens. xD
>
> Ich meine natürlich
>
> [mm]\sqrt{\left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2}[/mm]
>
>
Das sieht besser aus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 11.05.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] $\vec [/mm] E$, indem Sie wieder für einen Punkt auf der $z$-Achse das
Integral für [mm] $\vec [/mm] E$ berechnen.
Was geschieht für [mm] $R~\longrightarrow~\infty$? [/mm] |
----------------------------------------------------------
Aufgabe betreffend [mm] \emph{Elektrisches Potenzial, allg.}:
[/mm]
Also für die Aufgabe habe ich nun einen Lösungsansatz. Dieses Aufgabe war eine Präsenzaufgabe, die gemeinsam mit der Lehrkraft besprochen wurde.
Das Ergebnis lautet in kartesischen K.:
[mm]
\Phi\left(x,y,z\right) &= \bruch{\varrho_{f_0}}{4 \pi\,\varepsilon_0}\,\int_{-R}^{R} \int_{-\sqrt{R^2 - y'^2}}^{\phantom{\,}\sqrt{R^2 - y'^2}} \bruch{1}{\sqrt{\left(0 - x'\right)^2 + \left(0 - y'\right)^2 + \left(z - 0\right)^2}}\,\, \mathrm{d}x'\,\mathrm{d}y'
[/mm]
Frage: Wie integriere ich hier mit Rücksicht auf die Integralgrenzen? Ich denke das man die Grenzen substituieren muss, habe aber überhaupt keine Idee wie ich das machen müsste!
in parametrisierten K. (wobei nach [mm] $\varphi$ [/mm] bereits integriert wurde und der Wert vors Integral gezogen wurde!):
[mm]
\Phi\left(x,y,z\right) = 2\pi\bruch{\varrho_{f_0}}{4 \pi\,\varepsilon_0}\,\int_{0}^{R} \bruch{r'}{\sqrt{r'^2 + z^2}}\,\mathrm{d}r'
[/mm]
Hier fälllt mir die Integration leicht und brauch' hier keine Hilfe!
-----------------------------------------------------------
Betreffend der hier gestellten Aufgabe [mm] \emph{Bezug zum E-Feld}:
[/mm]
Es gibt die Möglichkeit das elektrische Feld mit $- [mm] \vec \nabla \Phi$ [/mm] zu berechnen, da ich das Potenzial ja schon ermittelt habe. Wenn ich aber den "steinigen Weg" gehen muss, also über
[mm]
\vec E \left(x,y,z\right) = \bruch{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\int_{X'} \int_{Y'} \int_{Z'} \bruch{\varrho\left(x',y'\right)\cdot \delta \left(z'\right)}{\left[\sqrt{\left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2}\right]^3}\,\begin{pmatrix}x - x' \\ y - y' \\ z - z'\end{pmatrix}\,\mathrm{d}x'\,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
ist der Weg analog der Ermittlung des Potenzial, nur das hier halt komponentenweise integriert werden muss -also nach [mm] $E_x$ [/mm] usw.?
Wenn das so ist, sehen die zu lösenden Integrale jedoch nicht mehr "soo" einfach aus!
Für Hilfe bin ich wie immer zu dank verpflichtet! :o)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Fr 11.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Berechnen Sie [mm]\vec E[/mm], indem Sie wieder für einen Punkt auf
> der [mm]z[/mm]-Achse das
> Integral für [mm]\vec E[/mm] berechnen.
> Was geschieht für [mm]R~\longrightarrow~\infty[/mm]?
>
> ----------------------------------------------------------
> Aufgabe betreffend [mm]\emph{Elektrisches Potenzial, allg.}:[/mm]
>
> Also für die Aufgabe habe ich nun einen Lösungsansatz.
> Dieses Aufgabe war eine Präsenzaufgabe, die gemeinsam mit
> der Lehrkraft besprochen wurde.
>
> Das Ergebnis lautet in kartesischen K.:
>
> [mm]
\Phi\left(x,y,z\right) &= \bruch{\varrho_{f_0}}{4 \pi\,\varepsilon_0}\,\int_{-R}^{R} \int_{-\sqrt{R^2 - y'^2}}^{\phantom{\,}\sqrt{R^2 - y'^2}} \bruch{1}{\sqrt{\left(0 - x'\right)^2 + \left(0 - y'\right)^2 + \left(z - 0\right)^2}}\,\, \mathrm{d}x'\,\mathrm{d}y'
[/mm]
>
> Frage: Wie integriere ich hier mit Rücksicht auf die
> Integralgrenzen? Ich denke das man die Grenzen
> substituieren muss, habe aber überhaupt keine Idee wie ich
> das machen müsste!
Ich verstehe nicht, wo das Problem ist. Berechne ganz gewöhnlich die Stammfunktion und setze die Grenzen ein.
>
>
> in parametrisierten K. (wobei nach [mm]\varphi[/mm] bereits
> integriert wurde und der Wert vors Integral gezogen
> wurde!):
Was willst Du uns mit "in parametrisierten K." sagen?
>
>
>
> [mm]
\Phi\left(x,y,z\right) = 2\pi\bruch{\varrho_{f_0}}{4 \pi\,\varepsilon_0}\,\int_{0}^{R} \bruch{r'}{\sqrt{r'^2 + z^2}}\,\mathrm{d}r'
[/mm]
>
>
> Hier fälllt mir die Integration leicht und brauch' hier
> keine Hilfe!
>
> -----------------------------------------------------------
>
>
> Betreffend der hier gestellten Aufgabe [mm]\emph{Bezug zum E-Feld}:[/mm]
>
> Es gibt die Möglichkeit das elektrische Feld mit [mm]- \vec \nabla \Phi[/mm]
> zu berechnen, da ich das Potenzial ja schon ermittelt habe.
> Wenn ich aber den "steinigen Weg" gehen muss, also über
>
> [mm]
\vec E \left(x,y,z\right) = \bruch{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\int_{X'} \int_{Y'} \int_{Z'} \bruch{\varrho\left(x',y'\right)\cdot \delta \left(z'\right)}{\left[\sqrt{\left(x - x'\right)^2 + \left(y - y'\right)^2 + \left(z - z'\right)^2}\right]^3}\,\begin{pmatrix}x - x' \\ y - y' \\ z - z'\end{pmatrix}\,\mathrm{d}x'\,\mathrm{d}y'\,\mathrm{d}z'
[/mm]
>
> ist der Weg analog der Ermittlung des Potenzial, nur das
> hier halt komponentenweise integriert werden muss -also
> nach [mm]E_x[/mm] usw.?
Genau.
>
> Wenn das so ist, sehen die zu lösenden Integrale jedoch
> nicht mehr "soo" einfach aus!
Tja, aber so ist das nunmal.
>
>
> Für Hilfe bin ich wie immer zu dank verpflichtet! :o)
>
Gruß,
notinX
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![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
![[vogelzeig]](/images/smileys/vogelzeig.gif "[vogelzeig]"){kind=small}
