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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Elem. in einem endl. L-V.Raum
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Elem. in einem endl. L-V.Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Di 04.12.2007
Autor: Steffi1988

Aufgabe
Folgern Sie, dass jeder endliche L-Vektorraum V mit einem beliebigen Körper L genau [mm] p^{m} [/mm] Elemente haben muss, für eine Primzahl p und m [mm] \in \IZ^{+} [/mm]

Hallo liebe Community,
leider komme ich auch hier nicht unbedingt weiter...
KÖnnt ihr mir bitte ansätze geben ?


Lg,
Steffi

        
Bezug
Elem. in einem endl. L-V.Raum: Ansatz dazu
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Di 04.12.2007
Autor: statler

Hallo Steffi!

> Folgern Sie, dass jeder endliche L-Vektorraum V mit einem
> beliebigen Körper L genau [mm]p^{m}[/mm] Elemente haben muss, für
> eine Primzahl p und m [mm]\in \IZ^{+}[/mm]

>  leider komme ich auch hier nicht unbedingt weiter...
>  KÖnnt ihr mir bitte ansätze geben ?

Wenn der VR endlich ist, ist er auf jeden Fall endlich-dimensional, weil ja alle Vektoren zusammen ein endliches Erz.-System bilden.

(Ich merke gerade, daß die Aussage nicht stimmt, wenn der VR der Nullraum ist.)

Der Körper L muß ebenfalls endlich sein, denn sonst wären die Vielfachen eines Basisvektors ein unendlicher Teilraum. Aber dann ist nach einem außerordentlich bekannten Satz V [mm] \cong L^{n} [/mm] mit einer kanonischen Basis [mm] e_{1} [/mm] = (1, 0, 0, ... ) usw. Der VR selbst besteht dann aus den n-Tupeln, und die kann man abzählen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

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