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Folgende Gleichung soll ich nach x auflösen:
[mm] cos(2x)+\wurzel{3}*sin(x)=1
[/mm]
[mm] \gdw cos(x+x)+\wurzel{3}*sin(x)=1
[/mm]
[mm] \gdw cos^2(x)-sin^2(x)+\wurzel{3}*sin(x)=1
[/mm]
[mm] \gdw 1-(-sin^2(x))+\wurzel{3}*sin(x)=1
[/mm]
[mm] \gdw sin^2(x)+\wurzel{3}*sin(x)=0
[/mm]
[mm] \gdw sin(x)*\left(sin(x)+\wurzel{3}\right)=0
[/mm]
Z.z. sin(x)=0 [mm] \vee sin(x)+\wurzel{3}=0 [/mm]
Naja der Sinus ist bei Vielfachen von [mm] \pi [/mm] immer Null also ist sin(x)=0 für [mm] k\pi ,k\in [/mm] {0,1,2,3,...,n,n+1}
Wie gehe ich beim zweiten Term vor und wie bilde ich dann die Vereinigung der Lösungsmengen?
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Hallo,
> Folgende Gleichung soll ich nach x auflösen:
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> [mm]cos(2x)+\wurzel{3}*sin(x)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw cos(x+x)+\wurzel{3}*sin(x)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw cos^2(x)-sin^2(x)+\wurzel{3}*sin(x)=1[/mm]
Bis hierher ist's richtig.
Jetzt geht es so weiter:
[mm] 1-sin^2(x)-sin^2(x)+\wurzel{3}sin(x)=1
[/mm]
>
> [mm]\gdw 1-(-sin^2(x))+\wurzel{3}*sin(x)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw sin^2(x)+\wurzel{3}*sin(x)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw sin(x)*\left(sin(x)+\wurzel{3}\right)=0[/mm]
>
> Z.z. sin(x)=0 [mm]\vee sin(x)+\wurzel{3}=0[/mm]
>
> Naja der Sinus ist bei Vielfachen von [mm]\pi[/mm] immer Null also
> ist sin(x)=0 für [mm]k\pi ,k\in[/mm] {0,1,2,3,...,n,n+1}
>
> Wie gehe ich beim zweiten Term vor und wie bilde ich dann
> die Vereinigung der Lösungsmengen?
[mm] sin(x)+\wurzel{3}=0 [/mm] hat keine Lösung.
LG Angela
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Okay habe irgendwie geschlafen beim einsetzen. :D
[mm] \gdw -sin^2(x)-sin^2(x)+\wurzel{3}*sin(x)=0
[/mm]
[mm] \gdw sin(x)\left(-sin(x)-sin(x)+\wurzel{3}\right)=0
[/mm]
[mm] \gdw sin(x)\left(-2sin(x)+\wurzel{3}\right)=0
[/mm]
Damit bleibt meine Frage aber die gleiche, halt mit dem anderen Term.
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> Okay habe irgendwie geschlafen beim einsetzen. :D
>
> [mm]\gdw -sin^2(x)-sin^2(x)+\wurzel{3}*sin(x)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw sin(x)\left(-sin(x)-sin(x)+\wurzel{3}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw sin(x)\left(-2sin(x)+\wurzel{3}\right)=0[/mm]
>
> Damit bleibt meine Frage aber die gleiche, halt mit dem
> anderen Term.
Hallo,
alle x, für die sin(x)=0 oder [mm] -2sin(x)+\wurzel{3}=0 [/mm] ist, lösen die Gleichung.
Bestimme zu jeder Gleichung die Lösungsmenge.
Die Vereinigung ist dann die Lösungsmenge Deiner ursprünglichen Gleichung.
LG Angela
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Ich hatte doch bereits geschrieben das ich nicht weiß wie ich den zweiten Term lösen soll und wie ich dann die Vereinigung bilde?
sin(x) ist Null für [mm] k\pi ,k\in\IZ[/mm]
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> Ich hatte doch bereits geschrieben das ich nicht weiß wie
> ich den zweiten Term lösen soll
Hallo,
Terme löst man gar nicht.
Man löst Gleichungen.
Daß Du die zweite Gleichung, die Du zuerst hattest, nicht lösen konntest, ist kein Wunder. Sie hat ja keine Lösungen, was ich bereits schrieb.
Die neue zweite Gleichung hingegen hat Lösungen.
Stelle sin(x) frei und bestimme dann mithilfe vorhandener Kenntnisse oder einer Tabelle einschlägiger Sinuswerte erstmal ein passendes x.
Symmetrieüberlegungen und die Periodizität liefern Dir dann die Gesamtheit der Lösungen dieser Gleichung.
> und wie ich dann die
> Vereinigung bilde?
>
> sin(x) ist Null für [mm]k\pi ,k\in\IZ[/mm]
Du kannst dann einfach schreiben: alle x mit x= ... oder x= ... lösen die Gleichung.
LG Angela
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Okay, als der zweite Term wird Null wenn ich für den Sinus [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] erhalten. Das gibt es in meiner Tabelle für [mm] \bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{3},\bruch{2\pi}{3}. [/mm] Da sich das nun periodisch fortsetzen muss ist mir klar, aber ich weiß nicht wie ich die "Folge" jetzt verallgemeinert bilden kann.
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Hallo SturmGhost,
Deine Tabelle scheint ein Fehldruck zu sein...
> Okay, als der zweite Term wird Null wenn ich für den Sinus
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] erhalten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das gibt es in meiner
> Tabelle für [mm]\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{3},\bruch{2\pi}{3}.[/mm]
Da der Sinus [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist, kann es doch immer nur höchstens zwei Lösungen innerhalb einer Periode geben.
Richtig sind davon hier nur [mm] \br{\pi}{3} [/mm] und [mm] \br{2\pi}{3}, [/mm] die dritte Lösung gehört zu einem anderen Wert (nämlich [mm] \br{1}{2}\wurzel{\blue{2}}).
[/mm]
> Da sich das nun periodisch fortsetzen muss ist mir klar,
> aber ich weiß nicht wie ich die "Folge" jetzt
> verallgemeinert bilden kann.
Na Lösungen sind also [mm] x=\br{\pi}{3}+2k\pi [/mm] und [mm] x=\br{2\pi}{3}+2k\pi, [/mm] mit [mm] k\in\IZ.
[/mm]
Wenn es weiterhilft, kannst Du diese beiden Lösungsmengen schonmal zusammenfassen zu [mm] x=\pm\br{1}{6}\pi+(2k+1)\pi
[/mm]
Grüße
reverend
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Würde es als Antwort nicht reichen wenn ich schreibe:
[mm] L=\{ \{x\in|k\pi,$ mit k\in\IZ\} \cup \{x\in|\br{\pi}{3}+2k\pi,$ mit k\in\IZ\}\cup\{x\in|\br{2\pi}{3}+2k\pi,$ mit k\in\IZ\}\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Sa 01.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Würde es als Antwort nicht reichen wenn ich schreibe:
>
> [mm]L=\{ \{x\in|k\pi,$ mit k\in\IZ\} \cup \{x\in|\br{\pi}{3}+2k\pi,$ mit k\in\IZ\}\cup\{x\in|\br{2\pi}{3}+2k\pi,$ mit k\in\IZ\}\}[/mm]
Hallo,
Ich habe deine Mengen nicht kontrolliert,
aber diese Darstellung macht keinen Sinn.
Du kannst nicht schreiben:
[mm] $x\in|k\pi$
[/mm]
Das macht keinen Sinn.
Gruß
DieAcht
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Und wie muss ich es dann schreiben? :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 01.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Und wie muss ich es dann schreiben? :/
Hallo,
Ich erfinde mal was:
[mm] $L=A\cup [/mm] B$ mit [mm] A=\{n\in\IN|n\mod 2 = 0\}, B=\{x\in\IR|\sin(x)=0\}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Hm ich weiß immer noch nicht wie es genau ausgedrückt wird. :/
$ [mm] L=A\cup B\cup [/mm] C $ mit $ [mm] A=\{x\in k\pi|sin(x)=0\}$, $B=\{x\in \bruch{\pi}{3}+2k\pi|(-2sin(x)+\wurzel{3}=0\} [/mm] $, [mm] $C=\{x\in \bruch{2}{3}\pi+2k\pi|(-2sin(x)+\wurzel{3}=0\} [/mm] $; [mm] k\in\IZ
[/mm]
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Hallo SturmGhost,
befass Dich nochmal mit ein bisschen elementarer Mengenlehre. Dir scheint nicht klar zu sein, was da ausgedrückt wird, vielleicht auch nicht, was die Zeichen bedeuten?
> Hm ich weiß immer noch nicht wie es genau ausgedrückt
> wird. :/
Geglaubt.
> [mm]L=A\cup B\cup C[/mm]
Das ist der richtige Anfang. Offenbar wird hier eine Menge $L$ definiert. Für diese Definition sind drei andere Mengen $A,B,C$ nötig. Die müssen also nun definiert werden.
> mit [mm]A=\{x\in k\pi|sin(x)=0\}[/mm],
Machen wir erstmal nur $A$. $A$ ist also definiert als die Menge (deswegen die geschweiften Klammern) aller x...
Jetzt kommt die Frage - was für x eigentlich?
Du schließt an mit [mm] \in k\pi. [/mm] Dabei heißt das Zeichen [mm] \in [/mm] doch Element von, da muss also eine Menge folgen. [mm] k\pi [/mm] ist aber eine Zahl, die sich als Produkt des als bekannt vorausgesetzten und [mm] \pi [/mm] darstellt, wobei $k$ auch noch nicht definiert ist.
Also nochmal von vorn: [mm] A=\{x\blue{\in\IR}| \cdots\}
[/mm]
A ist die Menge alller reellen x, für die gilt - dieser Relativsatz wird mit dem senkrechten Strich dargestellt.
Was gilt denn nun für x? Du willst ausdrücken, dass [mm] x=k\pi [/mm] sein muss, wobei k eine ganze Zahl darstellt. Genau dann ist nämlich [mm] \sin{(x)}=0.
[/mm]
Du sollst hier aber nur eins von beiden schreiben, denn die beiden Aussagen sind ja äquivalent. Erwartet wird aber nicht das richtige
[mm] A=\{x\in\IR|\sin{(x)}=0\}
[/mm]
Sonst könntest Du Dir das Lösen der Aufgabe ganz ersparen und gleich definieren, dass die Lösungsmenge aus allen x besteht, die eben die Aufgabe lösen. Dazu bräuchtest Du sie nur hinter den senkrechten Strich zu schreiben.
Erwartet wird also:
[mm] A=\{x\in\IR|x=k\pi, k\in\IZ\}
[/mm]
Die Angabe [mm] k\in\IZ [/mm] wird hier nachgereicht, was eigentlich nicht vollkommen logisch ist, aber durchaus genauso üblich.
So, und jetzt probier mal selbst, $B$ und $C$ entsprechend aufzuschreiben.
Grüße
reverend
> [mm]B=\{x\in \bruch{\pi}{3}+2k\pi|(-2sin(x)+\wurzel{3}=0\} [/mm],
> [mm]C=\{x\in \bruch{2}{3}\pi+2k\pi|(-2sin(x)+\wurzel{3}=0\} [/mm];
> [mm]k\in\IZ[/mm]
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