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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mi 25.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | Unter anderem sind gleichbedeutend:
1) D ist Elementargebiet
2) Jede in D nullstellenfreie analytische Funktion f besitzt analytischen Logarithmus in D, d.h. es gibt eine analytische Funktion l [mm] :D\to \IC [/mm] mit f= exp(l(z))
3) Jede in D nullstellenfreie analytische Funktion besitzt analytische Quadratwurzel in D.
4) D ist entweder [mm] \IC [/mm] oder konform äquivalent zum Einheitskreis [mm] \IE [/mm] |
Hi!
Mir sind hier noch nicht alle Richtungen klar.
Folgendes ist mir klar:
[mm] 1)\gdw2) [/mm] wegen: Riemannscher Abb.satz und Elementargebiete sind nur zu Elementargebieten konform äquivalent
[mm] 1)\to2)\to3): [/mm] Beweis ist mir bekannt und 3) ist Folgerung von 2)
Was mir fehlt ist bei 2) und 3) die Rückrichtung
Laut Buch (Freitag-Busam) soll dies aus dem Riemannschen Abbildungssatz hervorgehen, wo man zeigen kann: [mm] 3)\to4).
[/mm]
Mir ist aber leider nicht klar, wie das gehen soll. Der Abbildungssatz geht doch bereits von Elementargbeiten aus, sodass das zu zeigende hier ja quasi schon Voraussetzung ist...
Oder hab ich was übersehen?
Vielleicht kann mir da jemand helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mi 25.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Ergänzung: bei den Aussagen 2-4 ist D ein Gebiet; sprich die Aussagen sind für jedes Gebiet D gleichbedeutend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Unter anderem sind gleichbedeutend:
> 1) D ist Elementargebiet
> 2) Jede in D nullstellenfreie analytische Funktion f
> besitzt analytischen Logarithmus in D, d.h. es gibt eine
> analytische Funktion l [mm]:D\to \IC[/mm] mit f= exp(l(z))
> 3) Jede in D nullstellenfreie analytische Funktion besitzt
> analytische Quadratwurzel in D.
> 4) D ist entweder [mm]\IC[/mm] oder konform äquivalent zum
> Einheitskreis [mm]\IE[/mm]
> Hi!
> Mir sind hier noch nicht alle Richtungen klar.
> Folgendes ist mir klar:
> [mm]1)\gdw2)[/mm] wegen: Riemannscher Abb.satz und Elementargebiete
> sind nur zu Elementargebieten konform äquivalent
> [mm]1)\to2)\to3):[/mm] Beweis ist mir bekannt und 3) ist Folgerung
> von 2)
>
> Was mir fehlt ist bei 2) und 3) die Rückrichtung
> Laut Buch (Freitag-Busam) soll dies aus dem Riemannschen
> Abbildungssatz hervorgehen, wo man zeigen kann: [mm]3)\to4).[/mm]
>
> Mir ist aber leider nicht klar, wie das gehen soll. Der
> Abbildungssatz geht doch bereits von Elementargbeiten aus,
> sodass das zu zeigende hier ja quasi schon Voraussetzung
> ist...
>
Wenn Du Dir den Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes ganz genau ansiehst, wirst Du feststellen , dass von D nur verwendet wird:
"Jede in D nullstellenfreie analytische Funktion besitzt analytische Quadratwurzel in D."
Nennen wir das einmal die Eigenschaft (W)
(W wie Wurzel)
Nur diese Eigenschaft von D geht in den Beweis ein ( man muß natürlich vorher gezeigt haben, dass für zwei konform äquivalente Gebiete gilt: entweder haben beide die Eig. (W) oder beide nicht, das ist aber nicht schwer, versuch Dich mal daran). Also hast Du die Implikation
$ [mm] 3)\to4) [/mm] $
FRED
> Oder hab ich was übersehen?
> Vielleicht kann mir da jemand helfen
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mi 25.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Also im Moment hab ich jetzt grad keine zündende Idee - ich hoffe, dass ich sie mit ein wenig zeitlichem Abstand bekomme. Ich meld mich dann nochmal, falls ich es nicht versteh...
Aber danke schon mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 29.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
so, ich hatte jetzt Zeit mich damit zu beschäftigen. Allerdings steig ich noch nicht durch.
Du sagst, es wird nur verwendet:
"Jede in D nullstellenfreie analytische Funktion besitzt analytische Quadratwurzel in D."
Hierzu meine Frage: Wieso darf man das verwenden? (Ich kenne diesen Satz nur für Elementargebiet D)
Laut Freitag/Busam wird im Beweis die analytische Quadratwurzel im Beweis so verwendet.
Beim 1. Schritt: Zu jedem Elementargebiet D existiert konform äquivalentes Gebiet [mm] D_1, [/mm] sodass im Komplement [mm] \IC-D_1 [/mm] eine volle Kreisscheibe enthalten ist.
Der Beweis dieses Schrittes geht von der Funktion f(z)=z-b (b nicht in D) aus. Jetzt steht hier: Die Funktion D ist in dem GEBIET D analytisch.
Also nicht mehr Elementargebiet (es ist doch noch dasselbe D oder?)
dann wird gefolgert, dass f analytische Quadratwurzel hat (aber das kann man doch nur sagen, wenn D ein Elementargebiet ist - D Gebiet langt doch nicht)...
Ich vermute, dass es irgendwie mit diesem Teil zusammenhängt...
Wäre nett, wenn du mir hier noch auf die Sprünge helfen könntest
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mo 30.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Habe dummerweise Fälligkeit auf nur 24 Stunden gesetzt. Wäre immer noch für ein Antwort dankbar, wenn mir jemand weiter helfen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Wenn D ein Elementargebiet ist, so hat es die Eigenschaft (W)
Wenn Du Dir den Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes anschaust, so wirst Du feststellen: es wird nur die Eigenschaft (W) benutzt.
Damit ist gezeigt:
Ist D ein Gebiet mit der Eigenschaft (W) und ist D [mm] \not= \IC, [/mm] so ist D konform äquivalent zur offenen Einheitskreisscheibe.
Damit ist dann für ein Gebiet D gezeigt:
D ist ein Elementargebiet [mm] \gdw [/mm] D hat die Eig. (W)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 09.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
okay - danke. ich habs nun begriffen...
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