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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Bsp.: Schreiben Sie [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
als Produkt von Elementarmatrizen an.
Hierbei sind ja schon die Zeilen umgeformt brauche also nur mehr die Spalten umzuformen damit ich die Diagonalmatrix bekomme........weiß aber nicht wie man Spalten umformt. Könnte mir jemand helfen.
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Hi,
das funktioniert analog:
Um die Zeilen umzuformen, multiplizierst du ja von links. Um die entsprechenden Spaltenumformungen durchzuführen, stellst du die Elementarmatrix auf die rechte Seite der ursprünglichen Matrix.
Beachte aber, dass sich die Reihenfolge umdreht.
Beispiel:
Matrix A, Elementarmatrix E vertauscht 1. und 2. Zeile Spalte:
EA -> Zeilentausch
AE -> Spaltentausch
MfG
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo..irgedwie komm ich nicht drauf...
Bsp.:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] in [mm] \IZ_{2}$
[/mm]
Also rechne mal vor:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }$ [/mm] ------------------> [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }$ ------------------------->$\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $... und jetzt weiß ich nicht weiter.......und die Elementarmatrizen ... gibt es da eigentlich auch eine andere Methode wie ich da auf die draufkommen kann ohne dass ich alles Zeilen und Spaltenweise durchgehe weil sonst werde ich ja da nie fertig.........
Bitte zeigt mir ein Beispiel sonst kapier ich das so und so nicht..........
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Hi,
das Problem an diesem Beispiel ist, dass diese Matrix sich nicht in eine reine Diagonalmatrix umformen lässt, da nicht alle Spaltenvektoren linear unabhängig sind!
Deswegen mal ein Beispiel, das aufgeht:
A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Vertauschen von 1. und 3. Spalte ergibt:
[mm] A\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Vertauschen von 2. und 3. Zeile ergibt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } A\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Addieren der 2. zur 3. Zeile ergibt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } A\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun löst du nach A auf, indem du von links und von rechts mit den entsprechenden Inversen der Elementarmatrizen (sie sind ja bekanntlich invertierbar) multiplizierst. Die Inversen ergeben in der richtigen Reihenfolge die gewünschte Darstellung.
MfG
Martin
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