Elementarteiler bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Sa 09.10.2004 | | Autor: | ChrisH |
Hallo,
ich hab ein kleines Problem. Und zwar will ich die Elementarteiler der Matrix
[mm] \pmat{ X+1 & -1 & 1\\ -2 & X+1 & -2\\ -2 & -2 & X+1 } [/mm] finden um die Jordanform zu bestimmen. Nur ich weiß nicht genau welche Elementarumformungen erlaubt sind. So weit ich glaub darf ich Zeilen/Spalten vertauschen und zu Spalten/Zeilen beliebig oft andere Spalten/Zeilen addieren, also mit andern Worten Spalte i + alpha*Spalte j. Wobei dann aber alpha eine ganze Zahl sein sollte (also nicht etwa 1/2 oder so). Richtig ?
Nach mehreren Umformungen bin ich nun zur Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & X-1 & 2X\\ 0 & 0 & -(X+1)(X+3) } [/mm] gelangt. Darf ich nun Zeile 2 mit (X+1)(X+2) und Zeile 3 mit 2X multiplizieren (also sozusagen das kleinste gemeinsame vielfache in der 3. Spalte bilden) und dann Zeile 3 von Zeile 2 subtrahieren ?
Irgendwie scheint das nicht richtig zu funktionieren, denn eigentlich müsste ich die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (X-1)(X+1)(X+3) } [/mm] als Ergebnis erhalten. Bei meiner Matrix würden dann aber (X-1)(X+1)(X+3) in den unter beiden Diagonalelementen stehen was doch nicht sein dürfte oder ?
Was mache ich falsch ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 So 10.10.2004 | | Autor: | ChrisH |
Brauche die Antwort am besten bis Dienstag. Habe am Mittwoch Prüfung !!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 11.10.2004 | | Autor: | ChrisH |
Hallo,
danke für die beiden Links glaube ich konnte das Problem jetzt lösen. Bin dabei wie folgt vorgegangen:
[mm] \pmat{ X+1 & -1 & 1 \\ -2 & X+1 & -2 \\ -2 & -2 & X+1 } [/mm] (Spalte 1,2 vertauschen) ->
[mm] \pmat{ -1 & X+1 & 1 \\ X+1 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & X+1 } [/mm] (Zeile 2 und 3 + (X+1)- bzw. (-2)-faches der 1. Zeile) [mm] ->\pmat{ -1 & X+1 & 1 \\ 0 & -2+(x+1)^2 & -2+(x+1) \\ 0 & -2-2(X+1) & X+1-2 } [/mm] (obere zeile mit 1 elminieren) [mm] ->\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & x^2+2x-1 & x-1 \\ 0 & -2x-4 & X-1 } [/mm] (Spalte 2 -(X+1)*Spalte3)
[mm] ->\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2x & x-1 \\ 0 & -x^2-2x-3 & X-1 } [/mm] (Spalte3 - 1/2*Spalte 2) ->
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2x & -1 \\ 0 & -x^2-2x-3 & X-1+1/2x^2+x+3/2 } [/mm] (Spalte 2 und 3 vertauschen) [mm] ->\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2X \\ 0 & 1/2x^2+2x+1/2 &-x^2-2x-3 } [/mm] (Zeile 3 + [mm] (1/2x^2+2x+1/2)* [/mm] Zeile 2) [mm] ->\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2X \\ 0 & 0 &-x^2-2x-3+x^3+4x2+x } [/mm]
[mm] ->\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 &x^3+3x^2-x-3}
[/mm]
Das Polynom sollte die Nullstellen -3,1,-1 haben, zerfällt also in die Linearfaktoren (X+3)(X-1)(X+1).
Mir ist bloß immer noch nicht klar was für Umformungen erlaubt sind. Anscheinend darf ich nicht Zeilen und Spalten mit Konstanten multiplizieren. Und eine Multiplikation mit 1/(X+1) oder so ist wohl auch nicht erlaubt. Sonst könnte ich ja meine Linearfaktoren unten rechts auch noch zu Eins machen :)
Gruß Christian
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