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| Aufgabe | | Geben sie alle Elemente der Gruppe (s3, o) und (sn, o) und (s4, o) an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
HI,
wäre nett von euch, wenn ihr mir helfen könntet, sonst komm ich mit meinen anderen aufgaben nicht weiter :)
dankeschöön:)
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Hallo anfaenger94,
> Geben sie alle Elemente der Gruppe (s3, o) und (sn, o) und
> (s4, o) an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> HI,
> wäre nett von euch, wenn ihr mir helfen könntet, sonst
> komm ich mit meinen anderen aufgaben nicht weiter :)
Hast du denn so gar keine eigene Idee?
Überlege es dir doch geometrisch:
Es ist [mm]S_n[/mm] die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen n-Ecks bzw. Kongruenzabbildungen eines regelm. n-Ecks auf sich.
Male dir das für ein Dreieck und Viereck auf und schaue, welche Symmetrien dort vorkommen und sammele sie in einer Menge.
Für ein regelm. n-Eck hat [mm]S_n \ \ n! \ [/mm] Elemente
Nimm etwa [mm]S_3[/mm]:
Male dir ein gleichseitiges Dreieck auf und nenne die Eckpunkte 1,2 und 3. (von links unten im Gegenuhrzeigersinn, also Spitze 3)
Es hat 3 Spiegelachsen (jeweils die Mittelsenkrechten) und 3 Drehungen um den Mittelpunkt um die Winkel [mm]\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}[/mm], um [mm]240^{\circ}[/mm] und um [mm]360^{\circ}[/mm] - letzteres ist die Identität.
Verknüpfst du diese 6 Symmetrien untereinander, so erhältst du keine "neue" Symmetrie.
Probier's aus. Mache eine Drehung und dann eine Spiegelung ...
Du kannst die [mm]S_n[/mm] auch als Menge der Permutationen von n Elementen auf sich auffassen:
Wieder [mm]S_3[/mm]:
[mm]S_3=\left\{\underbrace{\pmat{1&2&3\\
1&2&3}}_{\hat =\operatorname{id}},\underbrace{\pmat{1&2&3\\
2&1&3}}_{\hat =\sigma_g_3},\underbrace{\pmat{1&2&3\\
3&2&1}}_{\hat =\sigma_g_2},\underbrace{\pmat{1&2&3\\
1&3&2}}_{\hat =\sigma_g_1}\underbrace{\pmat{1&2&3\\
2&3&1}}_{\hat =\delta_{120^{\circ}}},\underbrace{\pmat{1&2&3\\
3&1&2}}_{\hat =\delta_{240^{\circ}}}\right\}[/mm]
>
> dankeschöön:)
Mal's dir mal für [mm]S_4[/mm] auf und bastel etwas herum!
Gruß
schachuzipus
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