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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Elemente der kleinsten Untergruppe G von [mm] GL_3(\IR), [/mm] die
[mm] M_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1} [/mm] und [mm] M_2=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0} [/mm] enthält. |
Hallo erstmal,
mein Problem bei dieser Aufgabe ist folgendes:
Ich bin auf die Lösung |G|=12, also G enthält zwölf Elemente gekommen, die auch soweit richtig ist. Nun habe ich die Aufgabe aber auf eine "dümmliche" Methode gelöst und zwar quasi [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] genommen und diese jeweils potenziert bzw. von links/rechts multipliziert. Immer wenn dabei eine neue Matrix entstanden ist, habe ich das gleiche mit dieser gemacht. Ende des Liedes ist, dass ich eine 3 Seiten lange Rechnung habe, was für eine Klausur natürlich undenkbar ist.
Klar ist natürlich, dass G auf jedenfalls die Eiheitsmatrix als neutrales Element und [mm] M_1 [/mm] sowie [mm] M_2 [/mm] enthält.
Wie bestimme ich aber die übrigen Elemente, ohne groß zu rechnen? Unser Übungsleiter hat dies irgendwie getan, jedoch hat er das Talent, dass man nach seiner Stunde weniger weiss, als zuvor.
Wäre echt dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
// Hanz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 So 13.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie alle Elemente der kleinsten Untergruppe G von
> [mm]GL_3(\IR),[/mm] die
> [mm]M_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}[/mm] und
> [mm]M_2=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0}[/mm] enthält.
>
> mein Problem bei dieser Aufgabe ist folgendes:
> Ich bin auf die Lösung |G|=12, also G enthält zwölf
> Elemente gekommen, die auch soweit richtig ist.
Ja; dies ist uebrigens der Fall, da [mm] $M_1 M_2 \neq M_2 M_1$ [/mm] ist. Andernfalls waer $|G| = 6$ und $G = [mm] \{ M_1^n M_2^m \mid n \in \{ 0, 1 \}, m \in \{ 0, 1, 2 \} \}$.
[/mm]
> Nun habe ich die Aufgabe aber auf eine "dümmliche" Methode gelöst
> und zwar quasi [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] genommen und diese jeweils
> potenziert bzw. von links/rechts multipliziert. Immer wenn
> dabei eine neue Matrix entstanden ist, habe ich das gleiche
> mit dieser gemacht. Ende des Liedes ist, dass ich eine 3
> Seiten lange Rechnung habe, was für eine Klausur
> natürlich undenkbar ist.
So bloed ist die Methode gar nicht. Du kommst allerdings mit weniger Matrixmultiplikationen aus: es reicht voellig aus, jede neue Matrix mit [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] von Rechts zu multiplizieren. Mit dieser Methode erreichst du alle Matrizen in $G$, da sich jede als endliches Produkt in [mm] $M_1, M_2, M_1^{-1}, M_2^{-1}$ [/mm] darstellen laesst, und da [mm] $M_1^{-1} [/mm] = [mm] M_1$ [/mm] und [mm] $M_2^{-1} [/mm] = [mm] M_2^2$ [/mm] ist.
> Klar ist natürlich, dass G auf jedenfalls die
> Eiheitsmatrix als neutrales Element und [mm]M_1[/mm] sowie [mm]M_2[/mm]
> enthält.
Ja, und alle Matrizen der Form [mm] $M_1^n M_2^m$ [/mm] mit $m, n [mm] \in \IZ$. [/mm] Da du aber schnell feststellst, dass [mm] $M_1^2 [/mm] = [mm] E_3 [/mm] = [mm] M_2^3$ [/mm] ist, reicht es aus, $n [mm] \in \{ 0, 1 \}$ [/mm] und $m [mm] \in \{ 0, 1, 2 \}$ [/mm] zu nehmen. Damit bekommst du schonmal 6 Elemente von $G$.
> Wie bestimme ich aber die übrigen Elemente, ohne groß zu
> rechnen? Unser Übungsleiter hat dies irgendwie getan,
> jedoch hat er das Talent, dass man nach seiner Stunde
> weniger weiss, als zuvor.
Nun, falls [mm] $M_1 M_2 [/mm] = [mm] M_2 M_1$ [/mm] gilt kann man das recht schnell schaffen. Im anderen Fall vergleicht man erst [mm] $M_2 M_1$ [/mm] mit [mm] $M_1^n M_2^m$ [/mm] mit $n, m [mm] \in \in \IZ$ [/mm] (wie oben reichen recht wenige Wahlen fuer $n$ und $m$ aus). Um diese Rechnung kommt man nicht wirklich herum. (Die ganzen Rechnungen werden uebrigens wesentlich einfacher, wenn du dir merkst was [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] beim von Rechts bzw. Links dranmultiplizieren mit den Zeilen bzw. Spalten machen.)
Dann weisst du schonmal, dass es mindestens 12 Elemente geben muss. Wenn du jetzt eine Identitaet rausfindest, mit der du aus jeder Produktkette mit [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] eine Kette machen kannst, so dass es insg. nur 12 "reduzierte" Ketten gibt, bist du fertig. Um aber erstmal auf sowas zu kommen musst du vorher etwas rumprobieren. Ich vermute mal euer Uebungsleiter hat euch einfach das Ergebnis erzaehlt, aber nicht umbedingt wie man darauf kommt.
Ein kleines Beispiel:
Nehmen wir an, wir haetten Matrizen $A, B$ mit [mm] $A^2 [/mm] = E$, [mm] $B^3 [/mm] = E$ und $A, B, [mm] B^2 \neq [/mm] E$, und es gelte $A B = B A$. (Also nicht ganz das was du hast, aber etwas einfacher.) Wenn du einen beliebigen Ausdruck mit $A$s und $B$s hast, kannst du erstmal [mm] $A^{-1}$ [/mm] durch $A$ und [mm] $B^{-1}$ [/mm] durch [mm] $B^2$ [/mm] ersetzen ohne etwas am Wert des Ausdrucks zu aendern. Dann kannst du ihn umsortieren (da $A B = B A$ gilt), so dass du etwas von der Form [mm] $A^n B^m$ [/mm] hast. Jetzt kannst du durch [mm] $A^2 [/mm] = E$ und [mm] $B^3 [/mm] = E$ das ganze so umformen, dass du $0 [mm] \le [/mm] n < 2$ und $0 [mm] \le [/mm] m < 3$ hast. Daran siehst du dann, dass die kleinste Untergruppe, die $A$ und $B$ umfasst, gerade [mm] $\{ A^n B^m \mid n \in \{ 0, 1 \}, m \in \{ 0, 1, 2 \} \}$ [/mm] ist. Dass diese Menge jetzt wirklich 6 Elemente hat musst du aber noch zeigen, entweder indem du alle ausrechnest und zeigst dass sie verschieden sind oder indem du es mit den am Anfang des Beispiels genannten Aussagen beweist.
Ein zweites Beispiel:
Seien $A, B$ mit [mm] $A^2 [/mm] = [mm] B^2 [/mm] = E$ und $A [mm] \neq [/mm] E [mm] \neq [/mm] B [mm] \neq [/mm] A$, und es gelte $A B [mm] \neq [/mm] B A$. Dann kann einiges eintreten: es kann z.B. sein, dass die kleinste Untergruppe die $A$ und $B$ enthaelt unendlich viele Elemente hat! Ebenso kann sie 6 Elemente umfassen. (Es gibt noch viel mehr Moeglichkeiten, denke ich.) Du musst also mehr Informationen haben, um etwas zu sagen.
LG Felix
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