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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ellipse mit Satz von Green
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Ellipse mit Satz von Green: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 So 26.06.2016
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Bestimmen Sie den Flächeninhalt von [mm] $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ [/mm] mit Hilfe des Satzes vom Green, wobei $a,b>0$.

Guten Abend!

Die obige Aufgabe bereitet mir Probleme. Nennen wir den Flächeninhalt der besagten Ellipse G, so muss ich doch zuerst einmal zwei Kurven P und Q finden, welche eben dieses Gebiet G umranden. Hierbei habe ich bereits Schwierigkeiten - wie finde zwei solcher Kurven? Muss ich den gegebenen Ausdruck aus der Aufgabenstellung umformen?

Beste Grüße und bereits viele Dank im Voraus!
mathe_thommy

        
Bezug
Ellipse mit Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 26.06.2016
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den Flächeninhalt von [mm]x^2/a^2+y^2/b^2=1[/mm] mit
> Hilfe des Satzes vom Green, wobei [mm]a,b>0[/mm].
>  Guten Abend!
>  
> Die obige Aufgabe bereitet mir Probleme. Nennen wir den
> Flächeninhalt der besagten Ellipse G, so muss ich doch
> zuerst einmal zwei Kurven P und Q finden, welche eben
> dieses Gebiet G umranden.

eine reicht doch.

(a*cos (t),b*sin (t)) ,t zwischen 0 und 2 [mm] \pi [/mm]

fred




> Hierbei habe ich bereits
> Schwierigkeiten - wie finde zwei solcher Kurven? Muss ich
> den gegebenen Ausdruck aus der Aufgabenstellung umformen?
>  
> Beste Grüße und bereits viele Dank im Voraus!
>  mathe_thommy


Bezug
                
Bezug
Ellipse mit Satz von Green: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 26.06.2016
Autor: mathe_thommy

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Wie würde ich mit dieser Kurve nun weiterreichen? Ich kenne die Definition des Satzes von Green nur wie folgt:

[mm] \integral_{G}^{}{(\partial Q/ \partial x - \partial P/ \partial y)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} \integral_{\gamma^i}^{}{(P,Q)}. [/mm]

Wie kann ich deine Kurve nun darauf anwenden? Muss ich den ersten Teil nach x und den zweiten nach y ableiten?

Beste Grüße!

Bezug
                        
Bezug
Ellipse mit Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:11 Mo 27.06.2016
Autor: fred97


> Vielen Dank für die schnelle Antwort! Wie würde ich mit
> dieser Kurve nun weiterreichen? Ich kenne die Definition
> des Satzes von Green nur wie folgt:
>  
> [mm]\integral_{G}^{}{(\partial Q/ \partial x - \partial P/ \partial y)}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{N} \integral_{\gamma^i}^{}{(P,Q)}.[/mm]
>  
> Wie kann ich deine Kurve nun darauf anwenden? Muss ich den
> ersten Teil nach x und den zweiten nach y ableiten?

Nimm mal P(x,y)=-y und Q(x,y)=x.

Dann ist

     [mm]\integral_{G}^{}{(\partial Q/ \partial x - \partial P/ \partial y)}[/mm] =2* Flächeninhalt von G.

FRED

>  
> Beste Grüße!


Bezug
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