Ellipse und Skalarprodukt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] b: \IR^{2} \times \IR^{2} \to \IR [/mm] ein beliebiges positiv definites Skalarprodukt auf dem [mm] \IR^{2}.
[/mm]
i) Zu zeigen: [mm] S:=\{x \in \IR^{2} | b(x,x)=1\} [/mm] ist eine Ellipse ins [mm] \IR^{2}.
[/mm]
ii)Zu finden: die [mm] x_{max} [/mm] bzw [mm] x_{min} [/mm] [mm] \in [/mm] S, für die das Standardskalarprodukt [mm] (x,x) [/mm] maximal bzw minimal ist. Man Stelle den Zusammenhang mit den Hauptachsen der ellipse her.
iii) Zu zeigen: Es ist [mm] (x_{max},x_{min})=0 [/mm]. |
Hallo zusammen!
Hab einige Fragen zu obiger Aufgabe:
zu i) mit dem SkProd gilt ja [mm] (x,x)=y^2+z^2=1 [/mm] für S, dabei [mm] x=\vektor{y \\ z}. [/mm] Ist das schon meine Ellipsengleichung? Das wär doch wahrscheinlich zu einfach. Eigentlich ist das ja eine Kreisgleichung, wobei Kreise ja auch Ellipsen sind.
zu ii) Irgendwie verwirrt mich das. Wie kann denn das Skalarprodukt maximal bzw minimal werden? Es soll doch immer 1 sein?
zu iii) Ist eigentlich soweit klar. Sicher sind [mm] x_{max} [/mm] und [mm] x_{min} [/mm] dann genau die Scheitel der Ellipse.
Ich habe diese Fragen nur hier gestellt.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mi 22.04.2009 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]b: \IR^{2} \times \IR^{2} \to \IR[/mm] ein beliebiges
> positiv definites Skalarprodukt auf dem [mm]\IR^{2}.[/mm]
> i) Zu zeigen: [mm]S:=\{x \in \IR^{2} | b(x,x)=1\}[/mm] ist eine
> Ellipse ins [mm]\IR^{2}.[/mm]
> ii)Zu finden: die [mm]x_{max}[/mm] bzw [mm]x_{min}[/mm] [mm]\in[/mm] S, für die das
> Standardskalarprodukt [mm](x,x)[/mm] maximal bzw minimal ist. Man
> Stelle den Zusammenhang mit den Hauptachsen der ellipse
> her.
> iii) Zu zeigen: Es ist [mm](x_{max},x_{min})=0 [/mm].
Hi!
> Hab einige Fragen zu obiger Aufgabe:
> zu i) mit dem SkProd gilt ja [mm](x,x)=y^2+z^2=1[/mm] für S, dabei
> [mm]x=\vektor{y \\ z}.[/mm] Ist das schon meine Ellipsengleichung?
> Das wär doch wahrscheinlich zu einfach. Eigentlich ist das
> ja eine Kreisgleichung, wobei Kreise ja auch Ellipsen
> sind.
Es geht um ein beliebiges (pos. def.) Skalarprodukt, du hast hier ein ganz bestimmtes genommen.
> zu ii) Irgendwie verwirrt mich das. Wie kann denn das
> Skalarprodukt maximal bzw minimal werden? Es soll doch
> immer 1 sein?
Hier soll jetzt das Standard-Skalarprodukt genommen werden.
> zu iii) Ist eigentlich soweit klar. Sicher sind [mm]x_{max}[/mm] und
> [mm]x_{min}[/mm] dann genau die Scheitel der Ellipse.
Und hier geht es ebenfalls um das Standard-Skalarprodukt, sonst stände ja das b davor. Klar sind das die Scheitel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hey! Danke für deine Antwort.
Guter Hinweis, das hab ich voll übersehen. Leider komm ich aber immer noch nicht weiter. Was muss ich denn da machen? Hab grad nen bisschen mit der Def vom Skalarprodukt rumgespielt, also bilinearität, symmetrie und eben pos. def. Komme aber damit nirgendwo hin. Muss ich denn zum Schluss überhaupt eine Ellipsengleichung herausbekommen? Wär nett wenn mir jemand noch ein paar Tipps dazu geben könnte.
gruß
|
|
|
| |
|
Es sei [mm]e_1 = (1,0), \, e_2=(0,1)[/mm] die kanonische Basis des [mm]\mathbb{R}^2[/mm]. Jedes x [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] kann eindeutig in der Form
[mm]x = x_1 e_1 + x_2 e_2 \ \ \text{mit} \ \ x_1, x_2 \in \mathbb{R}[/mm]
dargestellt werden. Wegen der positiven Definitheit gilt
[mm]s_{11} = b(e_1,e_1) >0 \, , \ \ s_{22} = b(e_2,e_2) > 0[/mm]
Mit [mm]s_{12} = s_{21} = b(e_1,e_2) = b(e_2,e_1)[/mm] erkennt man [mm]x \mapsto b(x,x)[/mm] als quadratische Form zur symmetrischen Matrix [mm]S = (s_{ij})[/mm]. Verwende dazu die Bilinearität von [mm]b[/mm].
|
|
|
|
