Ellipsendrehung um 60° < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 25.01.2009 | | Autor: | juel |
| Aufgabe | Die Ellipse { [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] | [mm] \bruch{x²}{a²} [/mm] + [mm] \bruch{y²}{b²} [/mm] = 1 } werde um den Nullpunkt um 60° gedreht.
Wie lautet die Gleichung der gedrehten Ellipse? |
zunächst habe ich nach x und y aufgelöst
[mm] x_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{ (1 - \bruch{y²}{b²} * a²}
[/mm]
[mm] y_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{ (1 - \bruch{x²}{a²} * b²}
[/mm]
bei der Drehung ensteht dann diese Gleichung
x' = [mm] x_{0} [/mm] + cos [mm] \beta
[/mm]
y' = [mm] y_{0} [/mm] + sin [mm] \beta
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
x' = [mm] \wurzel{ (1 - \bruch{y²}{b²} * a²} [/mm] + cos [mm] \beta
[/mm]
y' = [mm] \wurzel{ (1 - \bruch{x²}{a²} * b²} [/mm] + cos [mm] \beta
[/mm]
ist das richtig so??
würde mich auf jede Antwort freuen.
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Deine Gleichungen für [mm]x',y'[/mm] sind falsch. Im übrigen bringt das Auflösen nach [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm] nichts. Es macht alles nur komplizierter.
Du mußt die Koordinaten "zurückdrehen":
[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) & - \sin \left( - \frac{\pi}{3} \right) \\ \sin \left( - \frac{\pi}{3} \right) & \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}[/mm]
Ersetze nun [mm]x,y[/mm] gemäß dieser Bedingung in der Ellipsengleichung durch [mm]x',y'[/mm]. Dann ist in einem [mm]x'y'[/mm]-Koordinatensystem die Ellipse um 60° gegen die [mm]x'[/mm]-Achse geneigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 25.01.2009 | | Autor: | juel |
danke für deine Antwort
jedoch kann ich deine Gleichung nicht ganz nachvollziehen
hast du das hier als ausgangspunkt genommen
x' = x [mm] \* [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] - y [mm] \* [/mm] sin [mm] \alpha
[/mm]
y' = x [mm] \* [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] + y [mm] \* [/mm] cos [mm] \alpha
[/mm]
was bedeutet [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 25.01.2009 | | Autor: | weduwe |
> danke für deine Antwort
>
> jedoch kann ich deine Gleichung nicht ganz nachvollziehen
> hast du das hier als ausgangspunkt genommen
>
> x' = x [mm]\*[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] - y [mm]\*[/mm] sin [mm]\alpha[/mm]
> y' = x [mm]\*[/mm] sin [mm]\alpha[/mm] + y [mm]\*[/mm] cos [mm]\alpha[/mm]
>
>
> was bedeutet [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
>
naja [mm] \frac{\pi}{3}\equiv [/mm] 60°
das ist sozusagen angewandte umwandlung von grad- in bogenmaß, oder umgekehrt 
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Genau diese Gleichungen sind es. Du mußt sie nur nach [mm]x,y[/mm] auflösen, denn du willst ja in der gegebenen Ellipsengleichung [mm]x,y[/mm] durch [mm]x',y'[/mm] ersetzen. Da eine Drehung um 60° aber durch eine Drehung um -60° rückgängig gemacht wird, muß für [mm]\alpha = -60°[/mm] eingesetzt werden. Und links stehen dann die ungestrichenen Größen, rechts die gestrichenen.
Beachte: [mm]\cos(-60^{\circ}) = \frac{1}{2} \, , \ \sin(-60^{\circ}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
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