Ellipsoid-Oberfläche < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finde einen Weg, Ellipsoid-Oberflächen aus den drei orthogonalen Halbachsen zu berechnen. |
Das o.g. Problem stellt sich mir gerade... Es ist, wie man wohl an der "Aufgabenstellung" schon sieht, eine Erfordernis aus einem Hobbyprojekt, keine Haus- oder Übungsaufgabe.
Für die orthogonalen Halbachsen gilt, daß ich sie gemäß [mm]a \ge b \ge c[/mm] sortiere und daß zumindest in der Testphase unter Umständen [mm] b = \bruch{a}{x}[/mm] und [mm] c = \bruch{a}{x^2}[/mm] gelten kann. ([mm]x \ge 1[/mm], damit [mm]a \ge b \ge c[/mm] bleibt.)
Mein Lösungsansatz sieht bisher so aus:
1.) Finde eine geeignete Formel. Bronstein u. Semendjajew schweigen sich zu diesen Thema aus, aber in bezug auf mathematische Formeln ist Wikipedia ausreichend vertrauenswürdig. D.h. meine Formelbasis ist neben den o.g. Vorbedingungen:
Substituenden [mm] u = \bruch{1}{a} * \wurzel{a^2-c^2}[/mm] und [mm] v = \bruch{1}{b} * \wurzel{b^2-c^2}[/mm]
Oberflächenberechnung gemäß [mm]A = 2 \pi c^2 + 2 \pi ab * \integral_{0}^{1} \bruch{1-u^2v^2x^2}{\wurzel{1-u^2x^2}\wurzel{1-v^2x^2}}\, dx[/mm]
(Kann jemand aus einer unabhängigen Quelle die Korrektheit der Formel bestätigen oder widerlegen? Sonst gehe ich mal weiterhin davon aus, daß sie so stimmen.)
2.) Löse das Integral.
Und da hapert es gerade, 20 Jahre nach dem Abitur ist das Integrieren wohl bereits im Demenzbereich verschüttgegangen...
Ich entsinne mich, daß man beim Integrieren die Formel bearbeitet und dann die beiden Grenzwerte eingesetzt hat. Da beim Umstellen zwar die Exponenten sich ändern und Konstanten wegfallen (oder kamen die in diesem Fall dazu?), aber die Struktur der Formel sich nicht prinzipiell ändert, wird beim Einsetzen des Grenzwerts 0 der Term in jedem Fall 1, denn alles, was mit x multipliziert wird, entfällt, und es bleibt [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}*\wurzel{1}} = 1 [/mm]. Ich brauche dann aber immer noch den ersten Term - kann mir jemand dabei helfen, bitte?
3.) Eine Beobachtung am Rande
Derzeit bin ich soweit, daß ich mit Überraschung bemerkt habe, daß die beiden Substituenden konstant bleiben, wenn [mm]b[/mm] und [mm]c[/mm] von [mm]a[/mm] abhängen.
Meine Vermutung derzeit ist:
[mm]v = \bruch{1}{b} * \wurzel{b^2-\left(\bruch{b}{x}\right)^2}[/mm]
quadriere beide Seiten: [mm]v^2 = \left( \bruch{1}{b}\right)^2 * \left( b^2-\left(\bruch{b}{x}\right)^2\right)[/mm]
löse die Klammerausdrücke auf (bei diesem Schritt bin ich unsicher, stimmt der so?): [mm]v^2 = \bruch{1}{b^2} * \left( b^2-\bruch{b^2}{x^2}\right)[/mm]
und dann: [mm]v^2 = \bruch{1}{b^2} * b^2 - \bruch{1}{b^2} * \bruch{b^2}{x^2}[/mm]
damit verschwindet b vollständig aus der Formel, und v hängt nur noch an x: [mm]v^2 = 1 - \bruch{1}{x^2}[/mm]
bzw., um tatsächlich wieder bei v zu landen: [mm]v = \wurzel{1 - \bruch{1}{x^2}}[/mm]
Für u gilt mehr oder weniger dasselbe, nur daß [mm] x^2 [/mm] zu [mm] x^4 [/mm] wird (äh... oder? :-o ).
Wenn ich also Fälle habe, in denen b und c durch einen konstanten Faktor an a hängen, könnte ich mir die Rechnung ggfs. vereinfachen, indem ich in der Oberflächenformel im Nenner u und v durch x ersetze...? Oder sollte ich das lieber lassen, weil dann beim Integrieren "komische Dinge passieren"?
Nachbemerkung
Ich habe diese Frage gestern in kürzerer Form bereits im Matheboard gestellt (![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=435797), aber bisher keine Reaktion bekommen... und da sie dort schon auf die zweite Seite gewandert ist, fürchte ich, daß es mit der Antwort dort nichts mehr wird :-( .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Finde einen Weg, Ellipsoid-Oberflächen aus den drei
> orthogonalen Halbachsen zu berechnen.
> Das o.g. Problem stellt sich mir gerade... Es ist, wie man
> wohl an der "Aufgabenstellung" schon sieht, eine
> Erfordernis aus einem Hobbyprojekt, keine Haus- oder
> Übungsaufgabe.
>
> Für die orthogonalen Halbachsen gilt, daß ich sie gemäß
> [mm]a \ge b \ge c[/mm] sortiere und daß zumindest in der Testphase
> unter Umständen [mm]b = \bruch{a}{x}[/mm] und [mm]c = \bruch{a}{x^2}[/mm]
> gelten kann. ([mm]x \ge 1[/mm], damit [mm]a \ge b \ge c[/mm] bleibt.)
>
> Mein Lösungsansatz sieht bisher so aus:
> 1.) Finde eine geeignete Formel. Bronstein u. Semendjajew
> schweigen sich zu diesen Thema aus, aber in bezug auf
> mathematische Formeln ist Wikipedia ausreichend
> vertrauenswürdig. D.h. meine Formelbasis ist neben den
> o.g. Vorbedingungen:
> Substituenden [mm]u = \bruch{1}{a} * \wurzel{a^2-c^2}[/mm] und [mm]v = \bruch{1}{b} * \wurzel{b^2-c^2}[/mm]
>
> Oberflächenberechnung gemäß [mm]A = 2 \pi c^2 + 2 \pi ab * \integral_{0}^{1} \bruch{1-u^2v^2x^2}{\wurzel{1-u^2x^2}\wurzel{1-v^2x^2}}\, dx[/mm]
> (Kann jemand aus einer unabhängigen Quelle die Korrektheit
> der Formel bestätigen oder widerlegen? Sonst gehe ich mal
> weiterhin davon aus, daß sie so stimmen.)
>
> 2.) Löse das Integral.
In der Wikipedia steht auch, dass das Integral nicht durch elementare Funktionen dargestellt werden kann, sondern nur durch die dort angegebenen elliptischen Integrale [mm] $E(k,\varphi)$ [/mm] und [mm] $F(k,\varphi)$. [/mm] Betrachte die beiden als neue elementare Funktion wie Sinus oder Cosinus. Anders geht's nur näherungsweise.
Viele Grüße
Rainer
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Und wie geht diese Betrachtung? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ersetze ich x durch die Integrale? k und [mm] \phi [/mm] habe ich in der Formel für A ja nicht.
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Ich kann Dinge ziemlich oft lesen, ohne sie deswegen zu verstehen... Ich habe die Erfahrung gemacht, daß irgendwann nochmaliges Lesen diesen Zustand nicht ändert und es mehr Sinn ergibt, jemand um Hilfe zu bitten - exakt deswegen bin ich ja hier.
1.) Warum hilft mir die Formel für A nicht weiter? Bzw., was wird dann mit ihrer Hilfe berechenbar, wenn nicht die Ellispoidoberfläche (die ich ja in A vermutet hätte)?
2.) Ist es korrekt, daß für die Integralterme von E und F gilt, daß beim Einsetzen der unteren Grenze, d.i. 0, jeweils 1 übrigbleibt?
3.) Wie lauten nochmal die Verfahren, um sin [mm]\phi[/mm] in die Integrale einzusetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich kann Dinge ziemlich oft lesen, ohne sie deswegen zu
> verstehen... Ich habe die Erfahrung gemacht, daß
> irgendwann nochmaliges Lesen diesen Zustand nicht ändert
> und es mehr Sinn ergibt, jemand um Hilfe zu bitten - exakt
> deswegen bin ich ja hier.
>
> 1.) Warum hilft mir die Formel für A nicht weiter? Bzw.,
> was wird dann mit ihrer Hilfe berechenbar, wenn nicht die
> Ellispoidoberfläche (die ich ja in A vermutet hätte)?
Die Formel für A, die du in deinem Post aufgeschrieben hast, hilft dir nicht weiter, weil du das Integral nicht lösen kannst.
E und F sind einfach zwei neue Funktionen, und die Oberfläche des Ellipsoids ist gegeben durch
[mm] A = 2\pi c^2 + \bruch{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi) + (a^2-c^2) E(k,\varphi)\right) [/mm],
wobei die Größen $k$ und [mm] $\varphi$ [/mm] definiert sind als
[mm] k = \bruch{a}{b}\bruch{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}}[/mm], [mm] \varphi = \arcsin \sqrt{1-\bruch{c^2}{a^2}}[/mm] .
Wenn du also a,b,c gegeben hast, kannst du k und [mm] $\varphi$ [/mm] ausrechnen und in die Formel für A einsetzen. Das einzig Ungewohnte sind die Funktionen E und F, aber die musst du genauso näherungsweise ausrechnen wie Funktion arcsin.
Zugegeben, arcsin kennt jeder bessere Taschenrechner, aber das liegt daran, dass man die Funktion eher braucht als E und F, nicht weil sie etwas grundsätzlich anderes wäre.
> 2.) Ist es korrekt, daß für die Integralterme von E und F
> gilt, daß beim Einsetzen der unteren Grenze, d.i. 0,
> jeweils 1 übrigbleibt?
Sorry, ich verstehe die Frage nicht. Wo setzt du die 0 ein?
> 3.) Wie lauten nochmal die Verfahren, um sin [mm]\phi[/mm] in die
> Integrale einzusetzen?
Wenn du die Stammfunktion kennst, setzt du die Grenzen direkt in diese ein. Ist F eine Stammfunktion von f, das heisst, ist $F'=f$, so ist
[mm] \integral_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) [/mm] .
Im Fall der elliptischen Integrale kennst du die Stammfunktion nicht, genauer gesagt, es ist nicht möglich sie durch bekannte Funktionen auszudrücken. Daher werden einfach neue Symbole E und F für diese Stammfunktionen genommen.
Viele Grüße
Rainer
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Okay, ich glaube, ich fange an, meine Probleme zu begreifen... und warum ein paar meiner Fragen sinnlos erscheinen (bzw., genauer, warum sie sinnlos waren). Vielen Dank erst einmal, rainerS, für Deine geduldigen Antworten!
a, b und c gebe ich für die Testphase vor, später ergeben sie sich aus anderen Berechnungen. Sie sind also in allen Fällen bekannt, und ein mit der Berechnung betrautes Computerprogramm kann in jedem Fall auf konkrete Werte zugreifen.
D.h. ich kann k und [mm] \varphi [/mm] entweder als Zwischenvariable abspeichern oder eine Formel in mein Programm eingeben, das anstelle von k und [mm] \varphi [/mm] gleich auf a, b und c zugreift. Das sollte bloße "Handarbeit" sein.
In der einen oder anderen Form steht also dann da:
= 2 * Ausdruckfürpi * cVerweis * cVerweis + (( 2 * Ausdruckfürpi * bVerweis) / AusdruckfürWurzel(aVerweis * aVerweis - cVerweis * cVerweis)) * (cVerweis * cVerweis * ...
Da bricht es derzeit ab, denn E und F kennen die beiden Programme, die ich verwende, beide nicht. Ich muß ihnen also etwas eingeben, was statt E und F irgendetwas in Abhängigkeit von a, b und c (oder daraus berechneten Werten) ausdrückt.
Ich hätte es jetzt mit den Formeln versucht, die bei Wikipedia darüber stehen:
[mm]E(k, \varphi) = \integral_{0}^{sin \varphi} \wurzel{\bruch{1-k^2x^2}{1-x^2}}\, dx [/mm] und [mm] F(k, \varphi) = \integral_{0}^{sin \varphi} \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}\wurzel{1-k^2x^2}}\, dx [/mm]
Die helfen mir allerdings insofern noch nicht, als die beiden Computerprogramme "Integral" auch nicht kennen. Ich kann die Integrale entweder getrennt berechnen und einen Verweis auf das Ergebnis setzen oder die Berechnung gleich "innerhalb der Formel" durchführen lassen, das kommt für mich auf dasselbe heraus. (arcsin kennen beide Programme, [mm] \varphi[/mm] kann ich also jeweils konkret berechnen lassen.) Aber ich muß meinem Programm sagen, was es mit a, b, c oder aus den dreien berechneten Werten machen soll... und das weiß ich grad selbst noch nicht.
Insofern wäre ich sehr dankbar, wenn jemand mir noch etwas weiter helfen würde?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:42 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Da bricht es derzeit ab, denn E und F kennen die beiden
> Programme, die ich verwende, beide nicht. Ich muß ihnen
> also etwas eingeben, was statt E und F irgendetwas in
> Abhängigkeit von a, b und c (oder daraus berechneten
> Werten) ausdrückt.
> Ich hätte es jetzt mit den Formeln versucht, die bei
> Wikipedia darüber stehen:
> [mm]E(k, \varphi) = \integral_{0}^{sin \varphi} \wurzel{\bruch{1-k^2x^2}{1-x^2}}\, dx[/mm]
> und [mm]F(k, \varphi) = \integral_{0}^{sin \varphi} \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}\wurzel{1-k^2x^2}}\, dx[/mm]
Die sind für numerische Berechnungen nicht sehr gut geeignet.
Alles was du jemals über die Funktionen E und F wissen möchtest, findest du in der Digital Library of Mathematical Functions http://dlmf.nist.gov/19. Dort gibt's auch einen Index zu Software für spezielle Funktionen: http://dlmf.nist.gov/software/.
Es gibt z.B. fertige Unterprogrammbibiliotheken wie die GNU Scientific Library, die Routinen für die Berechnung der elliptischen Integrale enthalten: http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Legendre-Form-of-Incomplete-Elliptic-Integrals.html.
Viele Grüße
Rainer
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Noch einmal vielen Dank für Deine Geduld mit einem sehr unwissenden Menschen, rainerS, nur... das, was ich wissen möchte, finde ich in der DLMF leider nicht - weil Wissen-Wollen auf Verstehen angewiesen ist. Doch das, was ich da bekomme, sind Formeln ohne Erläuterungen, aber mein Abi-Wissen ist unter mehr als zwei Jahrzehnten anderer Tätigkeiten verschüttet, wenn nicht gar ersten Demenz-Erscheinungen zum Opfer gefallen. Das heißt, ich bräuchte vermutlich ungefähr zehn Seiten Text, bis ich anfange zu verstehen, welche der Formeln am ehesten taugt und wie sie umzusetzen wäre. Sie beruhen ja alle darauf, E unf F irgendwoher zu haben, d.h. wen die Wikipedia-Versionen nicht gut geeinget sind, komme ich mit all diesen Formeln auch nicht weiter. Was ich jedenfalls zuerst bräuchte, wäre ja ein "Ersatz", der mir E und F in brauchbarer Form liefert.
Auch der Hinweis auf mathematische Fachprogramme ist freundlich, geht aber leider ein wenig an meiner Lebenswirklichkeit vorbei. Ich hätte keine Ahnung, wie ich die Programme, die ich verwenden kann, dazu bewegen könnte, ein anderes Programm aufzurufen, Dinge zur Berechnung dorthin zu schicken und sich die Ergebnisse mitteilen zu lassen. Ich bin leider weder Mathematiker noch Softwarespezialist :-( . Darum bin ich auch unter Windows, nicht in einem Unix-System unterwegs, was heißt, ich kann die GNU Scientific Library vermutlich nicht nutzen? Das Einzige, was mit dazu einfiele, wäre, mir jemand zu suchen, der Unix verwendet und C kann und mir die Formeln "umschreibt"... (Welche Copyright-Folgen hätte es eigentlich, wenn ich Dinge aus der GSL in einem anderen Programm wiedergebe und damit Berechnungen für ein komerzielles Produkt mache? Wäre das obsolet, weil ja die Lizenz das verbietet?)
Oder gibt es doch noch eine Alternative, wie ich etwas direkter (und vor allem eigenständiger) ans Ziel kommen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Auch der Hinweis auf mathematische Fachprogramme ist
> freundlich, geht aber leider ein wenig an meiner
> Lebenswirklichkeit vorbei. Ich hätte keine Ahnung, wie ich
> die Programme, die ich verwenden kann, dazu bewegen
> könnte, ein anderes Programm aufzurufen, Dinge zur
> Berechnung dorthin zu schicken und sich die Ergebnisse
> mitteilen zu lassen. Ich bin leider weder Mathematiker noch
> Softwarespezialist :-( . Darum bin ich auch unter Windows,
> nicht in einem Unix-System unterwegs, was heißt, ich kann
> die GNU Scientific Library vermutlich nicht nutzen?
Aber sicher doch. Es ist zwar in Unix/Linux-Systemen einfacher, weil a) häufig die Unterprogramme als Teil der Distribution installiert werden können und b) die Werkzeuge wie Compiler dabei sind.
Aber es funktioniert in Windows auch. Siehe meinen anderen Post.
> (Welche Copyright-Folgen hätte es
> eigentlich, wenn ich Dinge aus der GSL in einem anderen
> Programm wiedergebe und damit Berechnungen für ein
> komerzielles Produkt mache? Wäre das obsolet, weil ja die
> Lizenz das verbietet?)
Ich glaube, du verwechselst Copyright (Urheberrecht) mit Nutzungslizenz.
Grundsätzlich hast du das Urheberrecht an den Programmen, die du schreibst, und die Autoren der GSL das Urheberrecht an der GSL. Das ist (nach deutschem Recht) nicht übertragbar.
Etwas anderes sind die Nutzungsrechte. Die GSL steht unter der GNU GPL, was insbesondere bedeutet, dass jedes Programm, das sie benutzt, automatisch auch unter der GPL steht. Du kannst sie also nicht verwenden, wenn Teile deines Programmes unter einer damit nicht kompatiblen Lizenz stehen.
Das hat nur bedingt mit der Unterscheidung kommerziell/nicht kommerziell zu tun. Die Tatsache, dass ein Programm unter der GPL steht, hindert niemanden daran, Geld dafür zu verlangen. Du kannst aber weder die Nutzung noch die Weiterverbreitung einschränken.
Viele Grüße
Rainer
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Wenn die Integral-Version der Formeln sich dauerhaft als zu schwierig erweisen sollten, bleibt die Alternative, die Näherungsformel von Wikipedia zu nehmen: [mm]A \approx 4 \pi \left( \bruch{ \left( ab \right)^{1.6} + \left( ac \right)^{1.6} + \left( bc \right)^{1.6}} {3} \right)^{0.625}[/mm]
Allerdings verwirrt mich gerade folgendes:
Wenn ich meine Ellipse "heimlich" mal zu einer Kugel mit a = b = c = 1 forme und die Formel anwende, ergibt sich [mm]A \approx 4 \pi \left( \bruch{ \left( 1*1 \right)^{1.6} + \left( 1*1 \right)^{1.6} + \left( 1*1 \right)^{1.6}} {3} \right)^{0.625}[/mm]
d.h. [mm]A \approx 4 \pi \left( \bruch{ 1 + 1 + 1} {3} \right)^{0.625}[/mm]
d.h. [mm]A \approx 4 \pi [/mm]
Für eine Kugel mit dem Radius 1 hätte ich aber [mm]A = \bruch{4}{3} \pi [/mm] erwartet, und der Unterschied beträgt da ja nun nicht gerade nur 1,2 % :-o ...? Hat zufällig jemand eine alternative Quelle für diese Formel? Mein Verdacht ist, daß auch bei der Näherungsformel vor dem [mm]\pi[/mm] ein [mm]\bruch{4}{3}[/mm] stehen müsste...
Edit:
Kann jemand beurteilen, inwieweit diese Seite: http://www.numericana.com/answer/ellipsoid.htm#spheroid vertrauenswürdig ist? Und für denn Fall, daß sie taugt, wäre es möglich, den mathematischen Kern des folgenden Abschnitts in (möglichst einfachen ) Worten wiederzugeben:
--- Zitat ---
On 2004-05-17, we received the first attempt at optimizing a symmetrical formula by Knud Thomsen, who investigated the following expression, featuring a second parameter (k) generalizing his earlier formula (the case k = 0):
[mm] S \approx 4 \pi \left( \bruch{ \left( a^pb^p + a^pc^p + b^pc^p \right)}{3-k \left( \bruch {1-27 abc} {\left( a+b+c \right)^3 } \right)} \right)^{1/p}[/mm]
The formula is designed to be correct in the case of a sphere for all values of p and k. Selecting [mm]p = ln(2) / ln(\pi/2)[/mm], Thomsen claims optimal results when k is around 0.0942 and suggests the convergent 3/32 (0.9375) which is good enough to yield a relative error between -0.204 % and +0.187 % [the next convergents would be 5/53 and 8/85]. This represents an improvement of one order of magnitude over his original formula (k=0).
--- / Zitat ---
Ich hoffe, ich habe die Formel richtig wiedergegeben, die Seite numericana verwendet eine andere Schreibweise, die ich aber mit der hiesigen Software nicht richtig "imitieren" kann.
Vor allem kann ich dem Text nicht entnehmen, ob p und k willkürlich gewählt werden dürfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst die Integrale für deine Zwecke leicht mit der Simpson Regel ausrechnen. die findest du in wiki, oder dein Programm kennt sie schon. was benutzt du denn?
Gruss leduart
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Hallo, leduart,
ich bin wie erwähnt kein Mathematiker oder Software-Spezialist und treibe mich in der Hochschulmathematik nur als Fremdgaenger herum, insofern bleibe ich ganz bodenständig: Ich verwende Tabellenkalkulationen, um mir einen schnellen Überblick über Werte zu beschaffen (MS Excel, OO Calc, LibreOfficeCalc - die Unterschiede sind ja marginal, bis darauf, daß ich "Array Formulas" bisher nur für MS Excel verwende), und für die eigentlichen Berechnungen kommmt Python (mit einer GUI via wxPython) zum Einsatz.
Soweit ich feststellen kann, beherrscht keins der beiden Programme die Anwendung der Simpsonregel; ich müsste sie dem Programm also "vermitteln". Das sie sie nicht von Haus aus mitbringen, kann ich ihnen aber kaum verübeln, schließlich finde ich sie auch nicht im engeren Sinne "leicht" . Könntest Du etwas genauer ausführen, wie das Vorgehen zur Verbindung der Oberflächenberechnung mit der Simpsonregel aussehen würde?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, leduart,
> ich bin wie erwähnt kein Mathematiker oder
> Software-Spezialist und treibe mich in der
> Hochschulmathematik nur als Fremdgaenger herum, insofern
> bleibe ich ganz bodenständig: Ich verwende
> Tabellenkalkulationen, um mir einen schnellen Überblick
> über Werte zu beschaffen (MS Excel, OO Calc,
> LibreOfficeCalc - die Unterschiede sind ja marginal, bis
> darauf, daß ich "Array Formulas" bisher nur für MS Excel
> verwende), und für die eigentlichen Berechnungen kommmt
> Python (mit einer GUI via wxPython) zum Einsatz.
> Soweit ich feststellen kann, beherrscht keins der beiden
> Programme die Anwendung der Simpsonregel; ich müsste sie
> dem Programm also "vermitteln". Das sie sie nicht von Haus
> aus mitbringen, kann ich ihnen aber kaum verübeln,
> schließlich finde ich sie auch nicht im engeren Sinne
> "leicht" . Könntest Du etwas genauer
> ausführen, wie das Vorgehen zur Verbindung der
> Oberflächenberechnung mit der Simpsonregel aussehen
> würde?
Schau dir mal Numpy und Scipy an. Das sind Python-Pakete für numerische und wissenschaftliche Berechnungen, zum Beispiel zur numerischen Integration.
Für die GSL gibt es PyGSL; damit kannst du viele der GSL-Funktionen in Python nutzen.
Zur numerischen Integration in Excel siehe hier.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn die Integral-Version der Formeln sich dauerhaft als zu
> schwierig erweisen sollten, bleibt die Alternative, die
> Näherungsformel von Wikipedia zu nehmen: [mm]A \approx 4 \pi \left( \bruch{ \left( ab \right)^{1.6} + \left( ac \right)^{1.6} + \left( bc \right)^{1.6}} {3} \right)^{0.625}[/mm]
>
> Allerdings verwirrt mich gerade folgendes:
> Wenn ich meine Ellipse "heimlich" mal zu einer Kugel mit a
> = b = c = 1 forme und die Formel anwende, ergibt sich [mm]A \approx 4 \pi \left( \bruch{ \left( 1*1 \right)^{1.6} + \left( 1*1 \right)^{1.6} + \left( 1*1 \right)^{1.6}} {3} \right)^{0.625}[/mm]
> d.h. [mm]A \approx 4 \pi \left( \bruch{ 1 + 1 + 1} {3} \right)^{0.625}[/mm]
> d.h. [mm]A \approx 4 \pi[/mm]
>
> Für eine Kugel mit dem Radius 1 hätte ich aber [mm]A = \bruch{4}{3} \pi[/mm]
> erwartet,
Nein, dass ist das Volumen der Einheitskugel, ihre Oberfläche ist [mm] $4\pi$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rolf7 |
Hallo fremdgänger,
ich weiß nicht wo du genau nach Näherungsformel gesucht hast, du schreibst ja von Wikipedia.
Ich sage dir wie man so etwas macht und darauf kommt.
Wissen musst du wie man die Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel herleitet (ebenso Kugelkappe, Kugelschicht, hier Mantelfl.). Das ist einfach.
Desweiteren solltest du wissen, was der Unterschied zwischen einem Differenzenquotienten
und einem Differentialquotienten [mm] \bruch{dx }{dy } [/mm] ist. letzterer sind unendlich kleine größen, während der Differenzenquotient messbare größen sind.
Ich habe es sein lassen es hier alles ganz genau zu erklären (hab das gekänzelt, weil es mir viel zu lang wird, obwohl ich schon 3 mal angesetzt habe.)
Ich mache es jetzt kurz. Es geht um deine Näherungsformel aus, wie du sagst, Wikipedia.
Wenn du dir an dieser Formel [mm] $A\approx 4*\pi*\left( \bruch{\left( a*b \right)^{1.6}+\left( a*c \right)^{1.6}+\left( b*c \right)^{1.6}}{3}
\right)^{.625}$ [/mm] alle Exponenten weg denkst, dann kannst du sie dir aus der Berechnung der Oberfläche einer Kugel ableiten.
[mm] $V=\bruch{4}{3} *\pi*r^3$\Rightarrow $dV=4*\pi*r^2*dr$ (1)\Rightarrow [/mm] $dV=Ao*dr$ (2)
Wenn eine Kugel mit einer Schicht der Dicke [mm] $\Delta [/mm] r$ gleichmäßig überzogen ist, dann ist das Volumen dieser Schicht angenähert [mm] $V\approx 4*\pi*r^2*\Delta [/mm] r$. Wenn man den grennzübergang vollzieht und von [mm] \bruch{\Delta x}{\Delta y} [/mm] zum Differentialquotienten [mm] \bruch{dx }{dy } [/mm] übergeht, dann folgt aus (1) u. (2) die Oberfläche, nämlich $Ao= [mm] 4*\pi*r^2$
[/mm]
So erhält man auch die Formeln für Kugelkappe und -schicht aus deren dV=...
Das Ellipsoid ist "die Mutter aller Kugeln". [mm] §V=\bruch{4}{3}*\pi*a*b*c [/mm]
Der Gedanke, so wie bei der Kugel vorzugehen, der drängt sich auf.
Nur das man es hier mit "3 Radien", nämlich a, b, und c zu tun hat.
Also versucht man drei partielle Ableitungen nach a, b, und c. Alles immer in dem Bewußtsein, es wird nur versucht eine Näherung zu finden.
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial a}=\bruch{4}{3}*\pi*b*c$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] a$ [mm] \to $Va=Aoa*\partial [/mm] a$
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial b}=\bruch{4}{3}*\pi*a*c$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] b$ [mm] \to $Vb=Aob*\partial [/mm] b$
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial c}=\bruch{4}{3}*\pi*a*b$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] c$ [mm] \to $Vc=Aoc*\partial [/mm] c$
Mann könnte nun für eine allererste Näherungsformel die Summe daraus bilden: [mm] $Ao=Aoa+Aob+Aoc=\bruch{4}{3}*\pi*\left( a*b+a*c+b*c \right)$
[/mm]
Mann stellt fest, dass das $a=b=c=r$ die mit der Formel für die Kugeloberfläche übereinstimmt..
Das Problem: für geringe Unterschiede der Halbachsen a, b, und c voneinander mag das für bestimmte Fälle gehen. Aber mit wachsenden
[mm] $\Delta [/mm] a, [mm] \Delta [/mm] b, [mm] \Delta [/mm] c$ nicht mehr. Deshalb sieht man die angebrachten korrekturen in deiner und wohl auch in jeder anderen Näherungsformel für die Oberfläche eines Ellipsoiden. Ich persönlich halte nichts von diesen Näherungsformel, weil die Achsen eines Ellipsoides sehr unterschiedlich sein können. Die Halbachsen selbst müssten in den Korrekturgliedern stecken um eine bestimmte (und sicherlich unbekannte) Tolleranzgrenze nicht zu überschreiten.
Ich bleibe dabei: wenn man es braucht, dann sollte man es korrekt numerisch ausrechnen!
mfg rolf7
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rolf7 |
Hallo fremdgänger,
ich weiß nicht wo du genau nach Näherungsformel gesucht hast, du schreibst ja von Wikipedia.
Ich sage dir wie man so etwas selbst macht und darauf kommt.
Wissen musst du wie man die Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel herleitet (ebenso Kugelkappe, Kugelschicht, hier dann Mantelfl. statt Oberfläche). Das ist einfach.
Desweiteren solltest du wissen, was der Unterschied zwischen einem Differenzenquotienten
und einem Differentialquotienten [mm] \bruch{dx }{dy } [/mm] ist. Letzterer beinhaltet unendlich kleine Größen, während der Differenzenquotient messbare Größen enthält.
Ich habe es sein lassen hier alles ganz genau zu erklären (hab das gekänzelt, weil es mir viel zu lang wird, obwohl ich schon 3 mal angesetzt habe.)
Ich mache es jetzt kurz. Es geht um deine Näherungsformel aus, wie du sagst, Wikipedia.
Wenn du dir an dieser Formel [mm] $A\approx 4*\pi*\left( \bruch{\left( a*b \right)^{1.6}+\left( a*c \right)^{1.6}+\left( b*c \right)^{1.6}}{3}
\right)^{.625}$ [/mm] alle Exponenten weg denkst, dann kannst du sie dir aus der Berechnung der Oberfläche einer Kugel ableiten. Aber da das, mit zunehmend unterschiedlichen Halbachsen a, b, und c immer größere Abweichungen bringt, versuchen es die leute mit Korrekturen, die sie dann empirisch einfügen. so, wie bei deiner Formel geschehen.
[mm] $V=\bruch{4}{3} *\pi*r^3$\Rightarrow $dV=4*\pi*r^2*dr$ (1)\Rightarrow [/mm] $dV=Ao*dr$ (2)
Wenn eine Kugel mit einer Schicht der Dicke [mm] $\Delta [/mm] r$ gleichmäßig überzogen ist, dann ist das Volumen dieser Schicht angenähert [mm] $\DeltaV\approx 4*\pi*r^2*\Delta [/mm] r$. Wenn man den Grennzübergang vollzieht und vom DifferenzenQuotienten [mm] \bruch{\Delta x}{\Delta y} [/mm] zum Differentialquotienten [mm] \bruch{dx }{dy } [/mm] übergeht, dann folgt aus (1) u. (2) die Oberfläche, nämlich $Ao= [mm] 4*\pi*r^2$
[/mm]
So erhält man auch die Formeln für Kugelkappe und Kugelschicht, aus deren dV=...
Das Ellipsoid ist "die Mutter aller Kugeln". [mm] §V=\bruch{4}{3}*\pi*a*b*c [/mm]
Der Gedanke, so wie bei der Kugel vorzugehen, der drängt sich auf.
Nur das man es hier mit "3 Radien", nämlich a, b, und c zu tun hat.
Also versucht man drei partielle Ableitungen nach a, b, und c. Alles immer in dem Bewußtsein, es wird nur versucht eine Näherung zu finden.
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial a}=\bruch{4}{3}*\pi*b*c$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] a$ [mm] \to $Va=Aoa*\partial [/mm] a$
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial b}=\bruch{4}{3}*\pi*a*c$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] b$ [mm] \to $Vb=Aob*\partial [/mm] b$
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial c}=\bruch{4}{3}*\pi*a*b$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] c$ [mm] \to $Vc=Aoc*\partial [/mm] c$
Mann könnte nun für eine allererste Näherungsformel die Summe daraus bilden: [mm] $Ao=Aoa+Aob+Aoc=\bruch{4}{3}*\pi*\left( a*b+a*c+b*c \right)$
[/mm]
und stellt fest, dass das $a=b=c=r$ mit der Formel für die Kugeloberfläche übereinstimmt..
Das Problem: für geringe Unterschiede der Halbachsen a, b, und c voneinander mag das für bestimmte Fälle gehen. Aber mit wachsenden
[mm] $\Delta [/mm] a, [mm] \Delta [/mm] b, [mm] \Delta [/mm] c$ nicht mehr. Deshalb sieht man die angebrachten korrekturen in deiner und wohl auch in jeder anderen Näherungsformel für die Oberfläche eines Ellipsoiden. Ich persönlich halte nichts von diesen Näherungsformeln, weil die Achsen eines Ellipsoides sehr unterschiedlich sein können. Die Halbachsen selbst müssten in den Korrekturgliedern stecken um eine bestimmte (und sicherlich unbekannte) Tolleranzgrenze der Näherungsformelnicht zu überschreiten.
Ich bleibe dabei: wenn man es braucht, dann sollte man es korrekt und numerisch ausrechnen! Mann kann das sicherlich in einem Programm fassen (Ti Voy 200 oder vielleicht auch den Ti-nspire)
mfg rolf7
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rolf7 |
Hallo fremdgänger,
ich weiß nicht wo du genau nach Näherungsformel gesucht hast, du schreibst ja von Wikipedia.
Ich sage dir wie man so etwas nachvollzieht und darauf kommt.
Wissen musst du wie man die Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel herleitet (ebenso Kugelkappe, Kugelschicht, hier dann Mantelfl. statt Oberfläche). Das ist einfach.
Desweiteren solltest du wissen, was der Unterschied zwischen einem Differenzenquotienten
und einem Differentialquotienten [mm] $\bruch{dx }{dy }$ [/mm] ist. Letzterer beinhaltet unendlich kleine Größen, während der Differenzenquotient messbare Größen enthält.
Ich habe es sein lassen hier alles ganz genau zu erklären (hab das gekänzelt, weil es mir viel zu lang wird, obwohl ich schon 3 mal angesetzt habe.)
Ich mache es jetzt kurz. Es geht um deine Näherungsformel aus, wie du sagst, Wikipedia.
Wenn du dir an dieser Formel [mm] $A\approx 4*\pi*\left( \bruch{\left( a*b \right)^{1.6}+\left( a*c \right)^{1.6}+\left( b*c \right)^{1.6}}{3}
\right)^{.625}$ [/mm] alle Exponenten weg denkst, dann kannst du sie dir aus der Berechnung der Oberfläche einer Kugel ableiten. Aber da das, mit zunehmend unterschiedlichen Halbachsen a, b, und c immer größere Abweichungen bringt, versuchen es die Leute mit Korrekturen, die sie dann empirisch einfügen. so, wie bei deiner Formel geschehen.
[mm] $V=\bruch{4}{3} *\pi*r^3$\Rightarrow $dV=4*\pi*r^2*dr$ (1)\Rightarrow [/mm] $dV=Ao*dr$ (2)
Wenn eine Kugel mit einer Schicht der Dicke [mm] \Delta [/mm] r gleichmäßig überzogen ist, dann ist das Volumen dieser Schicht angenähert [mm] \Delta V\approx 4*\pi*r^2*\Delta [/mm] r. Wenn man den Grennzübergang vollzieht und vom Differenzenquotienten [mm] \bruch{\Delta x}{\Delta y} [/mm] zum Differentialquotienten [mm] \bruch{dx }{dy } [/mm] übergeht, dann folgt aus (1) u. (2) die Oberfläche, nämlich $Ao= [mm] 4*\pi*r^2$, [/mm] weil dr unendlich klein ist.
So erhält man auch die Formeln für Kugelkappe und Kugelschicht, aus deren dV=...
Das Ellipsoid ist "die Mutter aller Kugeln". [mm] §V=\bruch{4}{3}*\pi*a*b*c [/mm]
Der Gedanke, so wie bei der Kugel vorzugehen, der drängt sich auf.
Nur das man es hier mit "3 Radien", nämlich a, b, und c zu tun hat.
Also versucht man drei partielle Ableitungen nach a, b, und c. Alles immer in dem Bewußtsein, es wird nur versucht eine Näherung zu finden.
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial a}=\bruch{4}{3}*\pi*b*c$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] a$ [mm] \to $Va=Aoa*\partial [/mm] a$
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial b}=\bruch{4}{3}*\pi*a*c$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] b$ [mm] \to $Vb=Aob*\partial [/mm] b$
[mm] $\bruch{\partial V}{\partial c}=\bruch{4}{3}*\pi*a*b$ \Rightarrow $\partial V=\bruch{4}{3}*\pi*b*c*\partial [/mm] c$ [mm] \to $Vc=Aoc*\partial [/mm] c$
Mann könnte nun für eine allererste Näherungsformel die Summe daraus bilden: [mm] $Ao=Aoa+Aob+Aoc=\bruch{4}{3}*\pi*\left( a*b+a*c+b*c \right)$
[/mm]
und stellt fest, dass das mit $a=b=c=r$ mit der Formel für die Kugeloberfläche übereinstimmt..
Das Problem: für geringe Unterschiede der Halbachsen a, b, und c voneinander mag das für bestimmte Fälle gehen. Aber mit wachsenden
[mm] $\Delta [/mm] a, [mm] \Delta [/mm] b, [mm] \Delta [/mm] c$ nicht mehr. Deshalb sieht man die angebrachten Korrekturen in deiner und wohl auch in jeder anderen Näherungsformel für die Oberfläche eines Ellipsoiden. Ich persönlich halte nichts von diesen Näherungsformeln, weil die Achsen eines Ellipsoides sehr unterschiedlich sein können. Die Halbachsen selbst müssten in den Korrekturgliedern stecken um eine bestimmte (und sicherlich unbekannte) Tolleranzgrenze der Näherungsformel nicht zu überschreiten.
Ich bleibe dabei: wenn man es braucht, dann sollte man es korrekt und numerisch ausrechnen! Mann kann das sicherlich auch in einem Programm fassen (Ti Voy 200 oder vielleicht auch den Ti-nspire)
mfg rolf7
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rolf7 |
Hallo,
...doch, in MatheBoard habe ich dir heute Nacht (01:49 Uhr) dazu was geantwortet. Du solltest mal rein schauen.
Tipp: Es bleibt dir die numerische Lösung, aber die sieht anders aus.
mfg rolf7
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