Elliptische Integrale < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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hallo ich verstehe nicht wie ich die folgende aufgabe angehen soll
"Zeigen sie, dass der Umfang einer Ellipse
[mm] \bruch{x²}{a²} [/mm] + [mm] \bruch{y²}{b²} [/mm] = 1
geegben sit durch das vollstaendige inegral erster art
[mm][mm] U=4a\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-K²\sin²\phi} d\phi}
[/mm]
mit K²=1-(b²/a²)
freu mich ueber jede hilfe! ^^
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Zu diesem Zweck solltest du erstmal in Polarkoordinaten übergehen, und die Ellipse in die Form [mm] $r(\phi)$ [/mm] umformen, also Radius abhängig vom Winkel.
Danach schaust du dir ein kleines "Tortenstück" dieser Ellipse an. Klein heißt, daß der Winkel [mm] d\phi [/mm] des Tortenstücks im Zentrum der Ellipse sehr klein ist!
Wie groß ist denn in dem Fall das Bogenstück , also das Stück vom Ellipsenrand?
Im Bogenmaß ja einfach [mm] $r*d\phi$. [/mm] Und da sich der Radius bei der Ellipse ja permanent ändert, [mm] $r(\phi)*d\phi$.
[/mm]
Um nun den Umfang zu berechnen, mußt du die Ellipse in viele Tortenstücke aufteilen, und die ganzen [mm] $r(\phi)*d\phi$ [/mm] aufsummieren, also integrieren. Die Funktion heißt dann also
[mm] $U=\integral_0^{2\pi}r(\phi)*d\phi$
[/mm]
Nun mußt du nur noch [mm] r(\phi) [/mm] bestimmen und einsetzen, aber das überlasse ich dir 
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mmh yo danke erstmal!...##koennte jemand mir n tritt geben um diese
[mm] y=\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}*b²} [/mm] inen polar umzuformen? weil willdann sehen ob die ableitung davon dann das gleiche ist wie das interag/4a
thx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Di 05.12.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
das stimmt aber nicht so ganz:
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1\quad \Rightarrow\quad y=\wurzel{\red{b^2}-b^2*\bruch{x^2}{a^2}}=\bruch{b}{a}\wurzel{a^2-x^2}
[/mm]
kommst du damit weiter?
lg
Herby
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komisch ich dachte mir ich zie einfach [mm] \bruch{x²}{a²} [/mm] rüber zur 1
dann isses [mm] y²/b²=1-\bruch{x²}{a²}
[/mm]
dann mal "b²"=> [mm] y²=(1-\bruch{x²}{a²})b²
[/mm]
und dann wurzel ziehn...
deshalb seh ich nich ganz wo dein "rotes" b² herkommt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 05.12.2006 | | Autor: | a404error |
sieht aber jedenfalls"einfacher" aus mit deinem y (also das ändern in polar)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Di 05.12.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
dann klammer doch mal dein [mm] b^2 [/mm] ein
lg
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Di 05.12.2006 | | Autor: | a404error |
lol stimmt^^
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hallo ich habe nun alles in polar und abgeleitet und ins instegral "gepackt"
meine schritte waren:
[mm] \bruch{x²}{a²}+\bruch{y²}{b²}=1
[/mm]
y=asin [mm] \phi [/mm]
x=bcos [mm] \phi [/mm]
[mm] |\vec [/mm] r [mm] '|=\vektor{-b\sin\phi\\ a\cos\phi} [/mm] (soll hier r' als verktor(mit betrag) sein
und [mm] s=\integral_{}^{}{|\vec r '| d\phi}
[/mm]
[mm] |\vec r'|=\wurzel{a²*\cos²\phi+b²*\sin²\phi} [/mm] (und [mm] \cos²\phi [/mm] = [mm] 1-\sin²\phi [/mm] soll hier r' als verktor(mit betrag) sein
[mm] s=\integral_{}^{}{\wurzel{a²*(1-\sin²\phi)+b²*\sin²\phi} d\phi}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\wurzel{a²-a²\sin²\phi+b²*\sin²\phi} d\phi}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\wurzel{a²-(\sin²\phi(a²-b²))} d\phi} [/mm] (dann mal a²/a²
[mm] =a\integral_{}^{}{\wurzel{\bruch{a²}{a²}-(\sin²\phi(\bruch{a²}{a²}-\bruch{b²}{a²}})) d\phi}
[/mm]
[mm] =a\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1+\sin²\phi k} d\phi}
[/mm]
wär nett wenn sich das mal jemand durchsehehn könnte und fehler"korigieren" könnte(hoffe es sind keine da :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Do 07.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig
Gruss leduar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:43 Do 07.12.2006 | | Autor: | a404error |
danke!
obwohl ich glaube da ich mich am ende vertan habe
weil rein logisch müsste am ende
[mm] a\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-\sin²\phi k} d\phi}
[/mm]
stehen und nicht + ...
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