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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 23.06.2005 | | Autor: | pekola |
Hallo,
ich stell mal folgende Aufgabe ein, hab keine Ahnung wie ich das machen soll:
Bestimmen sie für eine beliebige Primzahl p die Menge aller [mm] $\IQ$-rationalen [/mm] Punkte endlicher Ordnung der elliptischen Kurve:
$E= [mm] \{(x,y)\in \IC \times \IC | y^2=x^3+px \} \cup\{O\}$
[/mm]
Kann mir ja jemand helfen?
Gruss
pekola
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Hallo pekola,
Zuerst betrachtet man die Diskriminante des Polynoms [mm] f=x^3+px. [/mm] Diese ist
[mm] -4*p^3
[/mm]
Dann verwendet man des Satz von Nagell-Lutz. Dieser besagt, dass die rationalen Punkte endlicher Ordnung bereits in [mm] \IZ^2 [/mm] liegen, und dass
y entweder gleich 0 ist oder
[mm] y^2 [/mm] ein Teiler von [mm] -4*p^3 [/mm] sein muss.
Die y-Koordinate der gesuhten Punkte muss also in der Menge
[mm] \{0, 1, 2, p, 2p \}
[/mm]
enthalten sein. Genaugenommen müsste man auch die negativen dieser Werte hinzunehmen. Aber wenn (x,y) [mm] \in [/mm] E dann ist ja auch (x,-y) [mm] \in [/mm] E.
Man setzt diese Werte nun in die Gleichung [mm] y^2=x^3+px [/mm] ein, und findet so alle rationalen Punkte endlicher Ordnung.
Wenn ich meinem MAPLE trauen kann, dann ist die Lösungsmenge = [mm] \{O, (0,0)\}.
[/mm]
Liebe Grüße,
Holy Diver
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