End(V) / Eigenraum&Invarianz < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Hallo, hier die Frage:
Sei V ein endlichdim. VR und f,g ∈End(V) mit fg=gf
zz: jeder Eigenraum von g ist f-invariant |
Ich habe hier 2 Ideen:
1.
Sei [mm] U_{\lambda} [/mm] der Eigenraum von g zum EW λ, dann gilt für alle v ∈ [mm] U_{\lambda}
[/mm]
g(v) = λv => λf(v) = f(λv) = f(g(v)) = g(f(v))
(darf ich den letzten schritt machen und g mit f tauschen? laut fg=gf schon oder?)
=> f(v) ∈ [mm] U_{\lambda}
[/mm]
=> [mm] f(U_{\lambda}) [/mm] ⊆ [mm] U_{\lambda} [/mm] qed.
2.
zz. f(ker(g-λI) ⊂ ker(g-λI)
also f(g(v)) = f(λv) = λf(v) ∈ ker(g-λI)
da f(v) =λv => λ∈ker(g-λI) mit v ∈ ker(g-λI) qed.
Welcher der beiden wege ist besser und warum?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mi 01.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, hier die Frage:
>
> Sei V ein endlichdim. VR und f,g ∈End(V) mit fg=gf
>
> zz: jeder Eigenraum von g ist f-invariant
> Ich habe hier 2 Ideen:
>
> 1.
>
> Sei [mm]U_{\lambda}[/mm] der Eigenraum von g zum EW λ, dann gilt
> für alle v ∈ [mm]U_{\lambda}[/mm]
>
> g(v) = λv => λf(v) = f(λv) = f(g(v)) = g(f(v))
>
> (darf ich den letzten schritt machen und g mit f tauschen?
> laut fg=gf schon oder?)
>
> => f(v) ∈ [mm]U_{\lambda}[/mm]
>
> => [mm]f(U_{\lambda})[/mm] ⊆ [mm]U_{\lambda}[/mm] qed.
Das ist O.K.
>
>
>
> 2.
>
> zz. f(ker(g-λI) ⊂ ker(g-λI)
>
> also f(g(v)) = f(λv) = λf(v) ∈ ker(g-λI)
Wo benutzt Du fg=gf ????
>
> da f(v) =λv
Das stimmt nicht !
FRED
=> λ∈ker(g-λI) mit v ∈ ker(g-λI)
> qed.
>
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> Welcher der beiden wege ist besser und warum?
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Aguero |
okay, dann werde ich die erste Idee nutzen, danke!
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