www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Endlich galoissche Erweiterung
Endlich galoissche Erweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Endlich galoissche Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Do 10.03.2011
Autor: Lippel

Aufgabe
Sei [mm] $L/K\:$ [/mm] endlich galoissch, $H < [mm] Gal(L/K)\:$ [/mm]
(i) Sei [mm] $\alpha \in [/mm] L$ und für [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K)$ gelte: [mm] $\sigma(\alpha)=\alpha \gdw \sigma \in [/mm] H$. Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm] $L^{H}=K(\alpha)$ [/mm]
(ii) Begründe, dass es zu H stets ein [mm] $\alpha$ [/mm] wie in (i) gibt.

Hallo,

meine Ansätze:

(i) Zunächst gilt [mm] $K(\alpha) \subset L^H$, [/mm] denn [mm] $\sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] H$. Also liegt [mm] $\alpha$ [/mm] sicher im Fixkörper von [mm] $H\:$. [/mm]
Probleme macht die Inklusion [mm] $L^H \subset K(\alpha)$. [/mm] Da [mm] $L/K\:$ [/mm] endlich galoissch ist, ist [mm] $L^H/K\:$ [/mm] endlich und separabel, besitzt also ein primitives Element. Ich muss nun zeigen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] ein solches primitives Element ist.
Ich weiß noch, dass [mm] $L/L^H$ [/mm] eine galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe [mm] $H\:$ [/mm] ist. Damit folgt aus dem Gradsatz: $[L:K] = [mm] [L:L^H][L^H:K] \Rightarrow ord\:Gal(L/K) [/mm] = [mm] ord\:H\: \cdot\:[L^H:K] \Rightarrow [L^H:K] [/mm] = [mm] \frac{ord\:Gal(L/K)}{ord\:H}$. [/mm]
Andererseits ist [mm] $\sigma(\alpha) \not= \alpha$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \backslash [/mm] H$. Kann ich daraus irgendwas über den Grad [mm] $[K(\alpha):K]$ [/mm] schließen, um damit dann [mm] $L^H [/mm] = [mm] K(\alpha)$ [/mm] zu zeigen?

(ii) Sei [mm] $\alpha$ [/mm] ein primitives Element der Erweiterung [mm] $L^H/K\:$. [/mm] Es gilt dann, da [mm] $\alpha \in L^H: \sigma(\alpha)=\alpha$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] H$. Ist andererseits [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \backslash [/mm] H [mm] \Rightarrow \sigma(\alpha) \not= \alpha$, [/mm] denn: Wäre [mm] $\sigma(\alpha)=\alpha \Rightarrow$ [/mm] der Fixkörper [mm] $L^U\:$ [/mm] der kleinsten Untergruppe [mm] $U\:$ [/mm] von [mm] $Gal(L/K)\:$, [/mm] die [mm] $H\:$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] enthält, würde [mm] $L^H\:$ [/mm] enthalten. Es folgt jedoch aus $H [mm] \subset [/mm] U: [mm] L^U \subset L^H$. [/mm] Also haben wir einen Widerspruch. Folglich [mm] $\sigma(\alpha) \not= \alpha$, [/mm] falls [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \backslash [/mm] H$
Damit ist ein [mm] $\alpha$ [/mm] wie in (i) gefunden.
Stimmt das?

LG Lippel

        
Bezug
Endlich galoissche Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Do 10.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]L/K\:[/mm] endlich galoissch, [mm]H < Gal(L/K)\:[/mm]
>  (i) Sei [mm]\alpha \in L[/mm]
> und für [mm]\sigma \in Gal(L/K)[/mm] gelte: [mm]\sigma(\alpha)=\alpha \gdw \sigma \in H[/mm].
> Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm]L^{H}=K(\alpha)[/mm]

Die Menge aller [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] ist uebrigens immer eine Untergruppe, und zwar der Stabilisator von [mm] $\alpha$. [/mm]

>  (ii) Begründe, dass es zu H stets ein [mm]\alpha[/mm] wie in (i)
> gibt.
>  Hallo,
>  
> meine Ansätze:
>  
> (i) Zunächst gilt [mm]K(\alpha) \subset L^H[/mm], denn
> [mm]\sigma(\alpha) = \alpha[/mm] für alle [mm]\sigma \in H[/mm]. Also liegt
> [mm]\alpha[/mm] sicher im Fixkörper von [mm]H\:[/mm].
>  Probleme macht die Inklusion [mm]L^H \subset K(\alpha)[/mm]. Da
> [mm]L/K\:[/mm] endlich galoissch ist, ist [mm]L^H/K\:[/mm] endlich und
> separabel, besitzt also ein primitives Element. Ich muss
> nun zeigen, dass [mm]\alpha[/mm] ein solches primitives Element
> ist.
>  Ich weiß noch, dass [mm]L/L^H[/mm] eine galoissche Erweiterung mit
> Galoisgruppe [mm]H\:[/mm] ist. Damit folgt aus dem Gradsatz: [mm][L:K] = [L:L^H][L^H:K] \Rightarrow ord\:Gal(L/K) = ord\:H\: \cdot\:[L^H:K] \Rightarrow [L^H:K] = \frac{ord\:Gal(L/K)}{ord\:H}[/mm].

Also gleich $[G : H]$.

> Andererseits ist [mm]\sigma(\alpha) \not= \alpha[/mm] für alle
> [mm]\sigma \in Gal(L/K) \backslash H[/mm]. Kann ich daraus irgendwas
> über den Grad [mm][K(\alpha):K][/mm] schließen, um damit dann [mm]L^H = K(\alpha)[/mm]
> zu zeigen?

Sei [mm] $\tau_1, \dots, \tau_t$ [/mm] ein Vertretersystem der Nebenklassen von $H$ in $Gal(L/K)$. Dann sind [mm] $\tau_1(\alpha), \dots, \tau_t(\alpha)$ [/mm] genau die verschiedenen Konjugierten von [mm] $\alpha$ [/mm] in $L$. Insbesondere ist $f := [mm] \prod_{i=1}^t [/mm] (x - [mm] \tau_i(\alpha)) \in [/mm] L[x]$ bereits ein Polynom in $K[x]$, und es ist irreduzibel: es ist naemlich das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$. [/mm]

Daraus siehst du [mm] $[K(\alpha) [/mm] : K] = t = [G : H]$.



Es geht uebrigens auch einfacher: es gilt [mm] $\sigma|_{K(\alpha)} [/mm] = [mm] id_{K(\alpha)} \Leftrightarrow \sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$. [/mm] Daraus folgt: $H = [mm] Fix(K(\alpha))$, [/mm] womit [mm] $L^H [/mm] = [mm] K(\alpha)$ [/mm] ist nach der Galoiskorrespondenz.

> (ii) Sei [mm]\alpha[/mm] ein primitives Element der Erweiterung
> [mm]L^H/K\:[/mm]. Es gilt dann, da [mm]\alpha \in L^H: \sigma(\alpha)=\alpha[/mm]
> für alle [mm]\sigma \in H[/mm]. Ist andererseits [mm]\sigma \in Gal(L/K) \backslash H \Rightarrow \sigma(\alpha) \not= \alpha[/mm],
> denn: Wäre [mm]\sigma(\alpha)=\alpha \Rightarrow[/mm] der
> Fixkörper [mm]L^U\:[/mm] der kleinsten Untergruppe [mm]U\:[/mm] von
> [mm]Gal(L/K)\:[/mm], die [mm]H\:[/mm] und [mm]\sigma[/mm] enthält, würde [mm]L^H\:[/mm]
> enthalten. Es folgt jedoch aus [mm]H \subset U: L^U \subset L^H[/mm].
> Also haben wir einen Widerspruch. Folglich [mm]\sigma(\alpha) \not= \alpha[/mm],
> falls [mm]\sigma \in Gal(L/K) \backslash H[/mm]
>  Damit ist ein
> [mm]\alpha[/mm] wie in (i) gefunden.
>  Stimmt das?

Ja, das stimmt so.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Endlich galoissche Erweiterung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Fr 11.03.2011
Autor: Lippel

Vielen Dank, dein Lösungsvorschlag vereinfacht die Sache natürlich.

LG Lippel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]