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| Aufgabe | Es sei K ein endlicher Körper mit p Elementen und V ein n-dimensionaler Vektorraum über K (2 [mm] \le [/mm] n < [mm] \infty).
[/mm]
Bestimmen Sie die Anzahl
(a) der Vektoren in V ,
(b) der 1-dimensionalen Untervektorraume von V ,
(c) der 2-dimensionalen Untervektorraume von V . |
Hallo liebe Freunde der Mathematik und einen frohen 2. Advent!
Zu dieser Frage bin ich mir nicht sicher wie ich sie angehen muss...
Allgemein würde mich schonmal interessieren, wie man zeigen kann, dass endliche Körper immer p Elemente enthalten müssen, und p eine Primzahl sein muss.
zu a) Angenommen ich nehme mir ein einfaches Bsp: K enthällt nur (0,1,2). Da für die skalare Multiplikation gilt KxV [mm] \to [/mm] K muss jedes Produkt von Skalaren des Körpers mit Vektoren in V liegen. D.h für mich aber das unendlich viele Vektoren drinne liegen, da ja bspweise ein Vektor v enthalten ist. Damit auch 2v in V liegen muss. Dann ist aber auch 2 * 2v drinne usw...
Ich denke aber iwie das das nicht stimmen kann (Bauchgefühl^^). Deswegen meine Frage: Stimmt das so?
Ich hab die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Ich bedank mich schonmal im Voraus!
lg Kai
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Hallo kuemmelsche,
> Es sei K ein endlicher Körper mit p Elementen und V ein
> n-dimensionaler Vektorraum über K (2 [mm]\le[/mm] n < [mm]\infty).[/mm]
> Bestimmen Sie die Anzahl
> (a) der Vektoren in V ,
> (b) der 1-dimensionalen Untervektorraume von V ,
> (c) der 2-dimensionalen Untervektorraume von V .
> Hallo liebe Freunde der Mathematik und einen frohen 2.
> Advent!
>
> Zu dieser Frage bin ich mir nicht sicher wie ich sie
> angehen muss...
> Allgemein würde mich schonmal interessieren, wie man
> zeigen kann, dass endliche Körper immer p Elemente
> enthalten müssen, und p eine Primzahl sein muss.
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> zu a) Angenommen ich nehme mir ein einfaches Bsp: K
> enthällt nur (0,1,2). Da für die skalare Multiplikation
> gilt KxV [mm]\to[/mm] K muss jedes Produkt von Skalaren des Körpers
> mit Vektoren in V liegen. D.h für mich aber das unendlich
> viele Vektoren drinne liegen, da ja bspweise ein Vektor v
> enthalten ist. Damit auch 2v in V liegen muss. Dann ist
> aber auch 2 * 2v drinne usw...
>
> Ich denke aber iwie das das nicht stimmen kann
> (Bauchgefühl^^). Deswegen meine Frage: Stimmt das so?
Wenn V [mm]\infty[/mm]-dimensional stimmt das.
V ist hier aber endlich-dimensional.
Die Vektoren in V sehen so aus:
[mm]\pmat{x_{1} \\ \dots \\ x_{n}}[/mm]
und für jedes [mm]x_{i}, \ 1 \le i \le n[/mm] gilt: [mm]x_{i} \in K[/mm]
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> Ich hab die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
>
> Ich bedank mich schonmal im Voraus!
>
> lg Kai
Gruß
MathePower
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