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| Aufgabe | | Gesucht wird ein Beispiel für einen Körper (K = [mm] F_{2)} [/mm] mit 8 Elementen und zeigen Sie die Additions- und Mulitplikationstabelle auf. |
Ich habe das Polynom [mm] x^{3} [/mm] + x + 1 in seine Elemente zerlegt. Bei der Mulitplikationstabelle habe ich ein paar Verständnisschwierigkeiten.
Wieso sind
x * [mm] (x^{2} [/mm] + 1) = 1
und
x * [mm] (x^{2} [/mm] + x + 1) = [mm] x^{2} [/mm] + 1
?
Erstmal nur die beiden. vielleicht kann mir das jemand erklären und ich gehe die Multiplikationstabelle dann weiter durch.
Danke & Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe das Polynom [mm]x^{3}[/mm] + x + 1 in seine Elemente
> zerlegt. Bei der Mulitplikationstabelle habe ich ein paar
> Verständnisschwierigkeiten.
Das Polynom?! Du konstruierst den Körper also als [m]K:=\IF_2[X]/(X^3+X+1)[/m], oder? Da das Polynom irreduzibel ist, ergibt dies einen Körper - mit acht Elementen, eine Basis ist (zB) [m]1,X,X^2[/m].
> Wieso sind
> x * [mm](x^{2}[/mm] + 1) = 1
In K gilt [m]X^3+X+1=0[/m], und da der Körper Charakteristik 2 hat, gilt [m]-1=1[/m].
> und
> x * [mm](x^{2}[/mm] + x + 1) = [mm]x^{2}[/mm] + 1
> ?
Folgt doch sofort aus obiger Gleichung?!
> Erstmal nur die beiden. vielleicht kann mir das jemand
> erklären und ich gehe die Multiplikationstabelle dann
> weiter durch.
Das ist aber echt mühsam, ist das eine Strafarbeit? Die Tabelle wird halt eher groß ...
SEcki
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Danke für die schnelle Antwort. Stimmt ich konstruiere den Körper. Die Tabelle erstelle ich zur Übung. 
und zurecht, da es irgendwie noch nicht ganz klick gemacht hat.
Die Erläuterung "In K gilt $ [mm] X^3+X+1=0 [/mm] $, und da der Körper Charakteristik 2 hat, gilt $ -1=1 $. " kann ich gerade nicht nachvollziehen. 'kannst du hier noch den ein oder anderne Satz erläuternd beifügen?
Ein weiteres Beispiel: Wieso sind [mm] (x+1)(x^{2} [/mm] + x) = 1?
[mm] (x+1)(x^{2} [/mm] + x) sind doch [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die schnelle Antwort. Stimmt ich konstruiere den
> Körper. Die Tabelle erstelle ich zur Übung.
Also Fleißarbeit ;)
Aber du kennst die Antwort ja - woher hast du die denn?
> Die Erläuterung "In K gilt [mm]X^3+X+1=0 [/mm], und da der Körper
> Charakteristik 2 hat, gilt [mm]-1=1 [/mm]. " kann ich gerade nicht
> nachvollziehen. 'kannst du hier noch den ein oder anderne
> Satz erläuternd beifügen?
Welches von beiden? Das erste gilt wegen deiner Konstruktion, da das Ideal, das von diesem Polynom erzeugt wird, aus dem Polynomring herausgeteilt wird, und im Faktorring, dein neuer Körper, gilt dann diese Relation. Das zweite - in Char. 2 gilt [m]1+1=0[/m], nach Def. der Char.
> Ein weiteres Beispiel: Wieso sind [mm](x+1)(x^{2}[/mm] + x) = 1?
> [mm](x+1)(x^{2}[/mm] + x) sind doch [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + x
[m]x^2+x^2=0[/m] und dann [mm]X^3+X+1=0 [/mm], also [mm]X^3+X=1 [/mm].
SEcki
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Ok, halbe Fleißarbeit. Die Tabelle ist hier und da mit Beispielen gefüllt und ich vervollständige Sie. Die Beispiele versuche ich erstmal nachzuvollziehen. Ich bin mir noch was unsicher..
[mm] (x+1)(x^{2} [/mm] + x + 1) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + x +x + 1 = [mm] x^{3} [/mm] + 1 = 1
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ok, halbe Fleißarbeit. Die Tabelle ist hier und da mit
> Beispielen gefüllt und ich vervollständige Sie.
Und wer hat sie warum gefüllt? Dafür, dass ich hier deine Tabelle berechne (kommt mir so vor) möcht ich shcon gerne wissen, welcher Kontext das ist. :p
> [mm](x+1)(x^{2}[/mm] + x + 1) = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + x +x + 1 =
> [mm]x^{3}[/mm] + 1 = 1
> Korrekt?
Nein. Was ist [m]X^3[/m]?
SEcki
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Keine Ahnung. Im Buch war die Tabelle gegeben mit der Aufforderung, diese selbstständig fort zu führen. Nun, das versuche ich. Die Additionstabelle machte mir keine Probleme, da ich die Beispiele alle nachvollziehen konnte und so denke ich diese richtig ausgefüllt zu haben.
Du sollst mir diese auch nicht ausrechnen. ich freue mich aber, dass du mir versuchst zu helfen. 
[mm] X^{3}..? [/mm] k.A. Bei (x+1) [mm] (X^{2}+x [/mm] war das Ergebnis doch [mm] x^{3}+x..
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Keine Ahnung. Im Buch war die Tabelle gegeben mit der
> Aufforderung,
Ah, ein Buch! Autodidakt oder zum Spaß oder zur Prüfungsvorbereitung oder zum Widerholen?
> diese selbstständig fort zu führen. Nun,
> das versuche ich. Die Additionstabelle machte mir keine
> Probleme, da ich die Beispiele alle nachvollziehen konnte
> und so denke ich diese richtig ausgefüllt zu haben.
Welche Elemente gibt es denn in dem Körper?
> [mm]X^{3}..?[/mm] k.A. Bei (x+1) [mm](X^{2}+x[/mm] war das Ergebnis doch
> [mm]x^{3}+x..[/mm]
Nö, also nicht nach dem Zusammenfassen. Kommt den [mm] X^3 [/mm] in deiner Tabelle außen vor? also als Element mit dem man multiplizieren kann? Wohl eher nicht ... man muss also [m]X^3[/m] durch die Basiselemente [m]1,X,X^2[/m] darstellen. Am besten wäre eine Gleichung, in der [m]X^3[/m] und die anderen Elemente vorkommen ... ja mei, musste halt mal suchen wo's sowas gibt.
Btw: es ist ratsam, zuerst [m]X^2*X^2[/m] und [m]X^2*X[/m] auszurechnen ([m]X*X=X^2[/m] ist ja klar), die restlichen dann mit Distributiv gesetz zu erschlagen.
SEcki
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Hm, also
$ [mm] (x+1)(x^{2} [/mm] $ + x + 1) = $ [mm] x^{3} [/mm] $ + $ [mm] x^{2} [/mm] $ + $ [mm] x^{2} [/mm] $ + x +x + 1 = $ [mm] x^{3} [/mm] $ + 1 = [mm] x^{2} [/mm] * x +1 = [mm] x^{2} [/mm] + x + 1
So etwa?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hm, also
> [mm](x+1)(x^{2}[/mm] + x + 1) = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + x +x + 1 =
> [mm]x^{3}[/mm] + 1 = [mm]x^{2}[/mm] * x +1 = [mm]x^{2}[/mm] + x + 1
> So etwa?
Nö, weil dann [m]X+1=1[/m] wär. (Ohne die Rechnung zu überprüfen).
Jetzt fang vielleicht mal an, hinzuschreiben, was du dir bei den einzelnen Gleichungen denkst.
SEcki
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Ich denke mal bis $ [mm] x^{3} [/mm] $ + 1 ist alles korrekt. So, da [mm] x^{3} [/mm] nicht in dem Polynomring sein kann, muss ich es darstellen durch entsprechende Elemente darstellen.
$ [mm] x^{3} [/mm] $ + 1 kann ich z.B. darstellen durch [mm] x(x^{2} [/mm] + 1). Das wäre dann nach Tabelle wieder 1. Da 1 falsch ist, wird das Ergebnis ein anderes sein. Ich stehe gerade absolut auf dem Schlauch....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich denke mal bis [mm]x^{3}[/mm] + 1 ist alles korrekt. So, da [mm]x^{3}[/mm]
> nicht in dem Polynomring sein kann, muss ich es darstellen
> durch entsprechende Elemente darstellen.
War wohl etwas flapsig von mir - [m]X^3[/m] ist natürlich im Körper, aber wir wollen es in der Basis [m]1,X,X^2[/m] darstellen.
> [mm]x^{3}[/mm] + 1 kann ich z.B. darstellen durch [mm]x(x^{2}[/mm] + 1).
Nein. Wie komsmt du darauf?
SEcki
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Stimmt, $ [mm] x(x^{2} [/mm] $ + 1) wäre ja in [mm] F_{2} [/mm] ja 1.
Aber da wir ja in [mm] F_{2} [/mm] rechnen, kann ich ja schlecht [mm] X^{3} [/mm] darstellen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Stimmt, [mm]x(x^{2}[/mm] + 1) wäre ja in [mm]F_{2}[/mm] ja 1.
Bitte was? Erstmal, wir sind im [m]\IF_8[/m], zweitens gibt es X per se nicht im [m]\IF_2[/m], sondern das kommt von unserer Konstruktion des [m]\IF_8[/m]. X ist ein Element von [m]\IF_8[/m], damit auch [m]X^3[/m] - das liegt schon drin, aber wir wollen es darstellen in der Basis [m]1,X,X^2[/m]. Wir rechnen hier in Wahrheit mit Äquivalenzklassen [m][1],[X],[X^2][/m] des Faktorraums über dem Polynomring [m]\IF_2[X][/m]. Nun gilt aber, da wir das Ideal vom Polynom herausdividiert haben, das [m]X^3+X+1[/m] den Kern erzeugt, dh wir suchen ein Polynom g, so dass [m][X^3]=[X^3-g*(X^3+X+1)]=[a*X^2+b*X+c][/m] gilt, mit [m]a,b,c\in\IF_8[/m]. Und das ist eher trivial.
> Aber da wir ja in [mm]F_{2}[/mm] rechnen, kann ich ja schlecht
> [mm]X^{3}[/mm] darstellen???
Doch natürlich.
SEcki
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Hi,
so, nun habe ich wieder was Zeit mich mit der Aufgabe zu beschäftigen. Danke für die Ausführungen erstmal.
Zur Aufgabe:
Fakt war bis dato $ [mm] (x+1)(x^{2} [/mm] $ + x + 1) = $ [mm] x^{3} [/mm] $ + 1
Nun fehlt noch die Zuordnung in die passende Nebenklasse (scheint wohl dafür mehrere Begriffe zu geben, wie z.B. Restklasse).
An der Stelle kann man doch auch mit Polynomdivision arbeiten.
Sprich müsste ich $ [mm] x^{3} [/mm] $ + 1 :durch das Polynom $ [mm] X^3+X+1 [/mm] $ teilen. Meiner Berechnung nach wäre dann $ [mm] (x+1)(x^{2} [/mm] $ + x + 1) = x..
Kann das passen?
Danke & Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mo 08.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> An der Stelle kann man doch auch mit Polynomdivision
> arbeiten.
Ja, aber das soll nur Teil des euklidischen Algorithmus sein, den du anwenden solltest.
> Sprich müsste ich [mm]x^{3}[/mm] + 1 :durch das Polynom [mm]X^3+X+1[/mm]
> teilen. Meiner Berechnung nach wäre dann [mm](x+1)(x^{2}[/mm] + x +
> 1) = x..
> Kann das passen?
Rechne es vor, ob es passt. Wie wär's damit?
SEcki
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Nun, da gibt es nicht viel vorzurechnen: Die polynomdivision ergibt:
$ [mm] x^{3} [/mm] $ + 1 : $ [mm] X^3+X+1 [/mm] $ = 1 R X , da -x = x gilt.
Wenn der Gedankengang mit der Polynomdivision an der Stelle richtig ist, könnte das Ergebnis stimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 08.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nun, da gibt es nicht viel vorzurechnen: Die
> polynomdivision ergibt:
> [mm]x^{3}[/mm] + 1 : [mm]X^3+X+1[/mm] = 1 R X , da -x = x gilt.
Stimmt.
> Wenn der Gedankengang mit der Polynomdivision an der Stelle
> richtig ist, könnte das Ergebnis stimmen.
Ja, ist er. Ist dir auch klar, warum es geht? Ein Polynom g ergibt ja [m]g=f*(X^3+x+1)+r[/m] mit [m]deg(r)<3[/m], also selbe Restklasse wie r.
SEcki
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