Endlichkeitssatz < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 20.02.2014 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Sei $ M = [mm] {\phi_n : n \in \IN } [/mm] $ eine Formelmenge, so dass für alle natürlichen Zahlen $ n $ gilt: $ [mm] \vDash \phi_{n + 1} \rightarrow \phi_n [/mm] $ und [mm] $\nvDash \phi_n \rightarrow \phi_{n + 1} [/mm] $.
a) Man zeige mit Hilfe des Endlichkeitssatzes: M hat ein Modell. |
Die Lösung zu dieser Aufgabe gibt es ![[]](/images/popup.gif) hier, jedoch habe ich sie nicht ganz verstanden, darum hier die Frage.
Also ich fang mal an wie ich das verstanden habe: Ich habe eine Menge mit Formeln.
$ M = [mm] \{ \phi_0, \phi_1, \phi_2, \phi_3, ... \} [/mm] $
Also gilt für die Formeln:
$ [mm] \vDash \phi_1 \rightarrow \phi_0 [/mm] $ und $ [mm] \nvDash \phi_0 \rightarrow \phi_1 [/mm] $
$ [mm] \vDash \phi_2 \rightarrow \phi_1 [/mm] $ und $ [mm] \nvDash \phi_1 \rightarrow \phi_2 [/mm] $
usw.
Jetzt steht in der Lösung aber folgendes:
===
Die Voraussetzung $ [mm] \nvDash \phi_n \rightarrow \phi_{n + 1} [/mm] $ liefert für jede natürliche Zahl $ n $ eine Belegung [mm] \alpha_n [/mm] mit $ [mm] \alpha_n (\phi_n \rightarrow \phi_{n + 1} [/mm] ) = 0 $, also mit $ [mm] \alpha_n(\phi_n) [/mm] = 1 $ und $ [mm] \alpha_n(\phi_{n + 1}) [/mm] = 0 $. Da für jede natürliche Zahl $ k $ die Formel $ [mm] \phi_{k + 1} \rightarrow \phi_k [/mm] $ gültig ist, folgt aus $ [mm] \alpha_n(\phi_n) [/mm] = 1 $ zunächst $ [mm] \alpha_n(\phi_{n - 1}) [/mm] = 1 $, dann [mm] $\alpha_n(\phi_{n - 2}) [/mm] = 1 $ und schließlich $ [mm] \alpha_n(\phi_0) [/mm] = 1 $.
===
Meine Frage: Wenn aber für alle Formeln $ [mm] \alpha_n(\phi_k) [/mm] = 1 , k [mm] \ne [/mm] n + 1 $ gilt, dann ist doch die Regel
$ [mm] \nvDash \phi_n \rightarrow \phi_{n + 1} [/mm] $ nicht mehr gültig. Ich steh da irgendwie auf dem Schlauch ... vlt kann mir da jemand einen Hinweis geben.
|
|
| |
|
Hiho,
> Meine Frage: Wenn aber für alle Formeln [mm]\alpha_n(\phi_k) = 1 , k \ne n + 1[/mm]
> gilt, dann ist doch die Regel [mm]\nvDash \phi_n \rightarrow \phi_{n + 1}[/mm] nicht mehr gültig.
Doch.
[mm] a_n [/mm] ist ja nur eine Belegung.
Wie in der Aufgabe bereits erklärt wird, bedeutet "[mm]\nvDash \phi_n \rightarrow \phi_{n + 1}[/mm]" ja "$ [mm] \phi_n \rightarrow \phi_{n + 1}$ [/mm] ist Tautologie".
Und eine Tautologie ist es eben nur dann, wenn es für alle Belegungen erfüllt ist.
Wenn es für eine gilt, gilt es eben noch lange nicht für alle.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
