Endo f mit f^n=id diagbar < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:38 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Potus |
| Aufgabe | Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null,
V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum und f ein Endomorphismus der Ordnung [mm] n\ge1, [/mm] d.h. [mm] f^n=id. [/mm] Zeigen Sie, dass f dann diagonalisierbar ist.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst: Wenn g ein nilpotenter Endomorphismus von V ist, dann impliziert [mm] ker(g^n)\not=V [/mm] auch [mm] ker(g^n)\not=ker(g^{n+1}). [/mm] |
Also ich habe nun leider keine Idee, wie ich das zeigen soll. Ich bin nur soweit gekommen, dass für alle Eigenwerte y von f gelten muss, dass [mm] y^n=1 [/mm] ist.
Was ich auch bemerken möchte, ist, dass wir das Minimalpolynom und seine Eigenschaften noch nicht behandelt haben. Auch mit dem Hinweis kann ich nichts anfangen. Ich brauche dringend einen Ansatz, der mir sagt WAS ich zeigen muss und WAS ich dann daraus FOLGERN kann.
Ich sitze an dieser Aufgabe jetzt schon viel zu lange und weiß einfach nicht weiter.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=124237]
Aber das Ergebnis war dann, dass ich das mit dem Minimalpolynom zeigen soll, aber das kann ich eben nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 So 14.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der
> Charakteristik Null,
> V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum und f ein
> Endomorphismus der Ordnung [mm]n\ge1,[/mm] d.h. [mm]f^n=id.[/mm] Zeigen Sie,
> dass f dann diagonalisierbar ist.
> Hinweis: Zeigen Sie zuerst: Wenn g ein nilpotenter
> Endomorphismus von V ist, dann impliziert [mm]ker(g^n)\not=V[/mm]
> auch [mm]ker(g^n)\not=ker(g^{n+1}).[/mm]
> Also ich habe nun leider keine Idee, wie ich das zeigen
> soll. Ich bin nur soweit gekommen, dass für alle Eigenwerte
> y von f gelten muss, dass [mm]y^n=1[/mm] ist.
> Was ich auch bemerken möchte, ist, dass wir das
> Minimalpolynom und seine Eigenschaften noch nicht behandelt
> haben. Auch mit dem Hinweis kann ich nichts anfangen. Ich
> brauche dringend einen Ansatz, der mir sagt WAS ich zeigen
> muss und WAS ich dann daraus FOLGERN kann.
> Ich sitze an dieser Aufgabe jetzt schon viel zu lange und
> weiß einfach nicht weiter.
Hattet ihr die Jordansche Normalform schon?
Wenn ja: waehle eine Basis so dass $f$ in JNF ist mit Matrix $A$, und schreibe $A = D + N$ wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist, $N$ nilpotent und $D N = N D$. Jetzt weisst du [mm] $A^n [/mm] = E$ (Einheitsmatrix), und [mm] $A^n [/mm] = (D + [mm] N)^n [/mm] = [mm] \sum_{0=1}^n \binom{n}{i} N^i D^{n-i}$. [/mm] Jetzt schau dir [mm] $N^0, N^1, \dots, N^n$ [/mm] an. Keine zwei dieser Matrizen haben einen Wert [mm] $\neq [/mm] 0$ an einer gleichen Stelle. Insbesondere folgt mit $(D + [mm] N)^n [/mm] = E$ also, dass [mm] $N^i D^{n-i} [/mm] = 0$ ist fuer $i > 0$. Insbesondere ist $N [mm] D^{n-1} [/mm] = 0$. Dies kann aber nur sein, wenn bereits $N = 0$ ist, also $A = D$ in Diagonalform ist.
(Hier fehlen noch ein paar kleine Argumente.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 14.06.2009 | | Autor: | Potus |
Zu erst einmal: Danke Felix, für diese Antwort!
Also: Ja wir hatten die Jordan-Normalform schon, aber wie es mir, scheint läuft das, was Du hier vewendest bei uns unter Jordanzerlegung.
Also zu den "kleinen Argumenten":
(1)
k algebraisch absgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] diese einedeutige Zerlgegung existiert:
[mm] f=f_N+f_D [/mm] mit [mm] f_D [/mm] diagonalisierbar und [mm] f_N [/mm] nilpotent [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert eine Basis, dass die darstellende Matrix A von f die erwähnte Form hat mit D und N entsprechende MAtrizen zu [mm] f_D [/mm] und [mm] f_N. [/mm] Nach Voraussetzung gilt dann: $ [mm] A^n [/mm] = (D + [mm] N)^n [/mm] = [mm] \sum_{0=1}^n \binom{n}{i} N^i D^{n-i}=E [/mm] $
(2)
> Keine zwei dieser Matrizen haben einen Wert [mm]\neq 0[/mm] an einer gleichen Stelle.
Das verstehe ich leider nicht. Woran sieht man das?
Könnte hier vielleicht der Hinweis verwendet worden sein?
(3)
> Insbesondere folgt mit $ (D + [mm] N)^n [/mm] = E $ also, dass $ [mm] N^i D^{n-i} [/mm] = 0 $ ist fuer $ i > 0 $
Dies folgt aus der Tatsache, dass E (trivialerweise) diagonalisierbar ist und N*D nicht zwingend, wenn N nicht diagonalisierbar ist (was es ja nach Voraussetzung nicht ist.)
Außerdem denke, ich dass dabei die Charakteristik des Körpes vewendet wurde, denn sonst wäre es ja möglich, dass [mm] k*1*N^{i}*D^{n-i}=0 [/mm] für ein [mm] k\in\IN [/mm] obwohl [mm] N^{i}\not=0
[/mm]
(4)
Die restlichen Folgerungen sind dann klar.
Dann noch eine Frage zum Beweis des Hinweises:
(5)
Sei g nilpotent [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert ein [mm] k\in\IN [/mm] mit [mm] g^k=0 [/mm] und [mm] g^n\not=0 [/mm] für n<k
Da für die Kerne gilt: [mm] \{0\} \subset ker_1 \subset ker_2 [/mm] ... [mm] \subset [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] die Behauptung.
Lückenlose Argumentation???
Nochmals vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Di 16.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zu erst einmal: Danke Felix, für diese Antwort!
>
> Also: Ja wir hatten die Jordan-Normalform schon, aber wie
> es mir, scheint läuft das, was Du hier vewendest bei uns
> unter Jordanzerlegung.
Naja, bei der Jordanzerlegung ist es recht egal welche Form $N$ und $D$ haben; ich setze schon voraus, dass $D$ in Diagonalform und $N$ in JNF ist.
> Also zu den "kleinen Argumenten":
>
> (1)
> k algebraisch absgeschlossen [mm]\Rightarrow[/mm] diese einedeutige
> Zerlgegung existiert:
> [mm]f=f_N+f_D[/mm] mit [mm]f_D[/mm] diagonalisierbar und [mm]f_N[/mm] nilpotent
> [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert eine Basis, dass die darstellende
> Matrix A von f die erwähnte Form hat mit D und N
> entsprechende MAtrizen zu [mm]f_D[/mm] und [mm]f_N.[/mm]
Und zwar $D$ diagonal und $N$ in JNF.
> Nach Voraussetzung
> gilt dann: [mm]A^n = (D + N)^n = \sum_{0=1}^n \binom{n}{i} N^i D^{n-i}=E[/mm]
Ja, da $N D = D N$.
> (2)
> > Keine zwei dieser Matrizen haben einen Wert [mm]\neq 0[/mm] an einer
> > gleichen Stelle.
>
> Das verstehe ich leider nicht. Woran sieht man das?
> Könnte hier vielleicht der Hinweis verwendet worden sein?
Hier wird die spezielle Form von $N$ verwendet. Wie sehen die Potenzen [mm] $N^i$ [/mm] aus? Wie die Potenzen [mm] $D^j$? [/mm] Welche Form hat [mm] $N^i D^j$?
[/mm]
(Nimm doch erstmal an, dass $N$ genau ein Jordankaestchen ist, und schau dir an wie das dann aussieht. Die allgemeine Situation ist genau gleich, nur das man mehrere davon zusammensetzt als Blockdiagonalmatrix.)
> (3)
> > Insbesondere folgt mit [mm](D + N)^n = E[/mm] also, dass [mm]N^i D^{n-i} = 0[/mm]
> > ist fuer [mm]i > 0[/mm]
>
> Dies folgt aus der Tatsache, dass E
> (trivialerweise) diagonalisierbar ist und N*D nicht
> zwingend, wenn N nicht diagonalisierbar ist (was es ja nach
> Voraussetzung nicht ist.)
Nein, das folgt aus (2). Summen von nicht-trivialen nicht-diagonalisierbaren Matrizen koennen sehr wohl wieder diagonalisierbar sein.
> Außerdem denke, ich dass dabei die Charakteristik des
> Körpes vewendet wurde, denn sonst wäre es ja möglich, dass
> [mm]k*1*N^{i}*D^{n-i}=0[/mm] für ein [mm]k\in\IN[/mm] obwohl [mm]N^{i}\not=0[/mm]
Exakt, die ist hier wichtig.
> (4)
> Die restlichen Folgerungen sind dann klar.
>
> Dann noch eine Frage zum Beweis des Hinweises:
> (5)
> Sei g nilpotent [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert ein [mm]k\in\IN[/mm] mit
> [mm]g^k=0[/mm] und [mm]g^n\not=0[/mm] für n<k
Ok.
> Da für die Kerne gilt: [mm]\{0\} \subset ker_1 \subset ker_2[/mm]
> ... [mm]\subset[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] die Behauptung.
Warum sollte das der Fall sein? Das sollst du zeigen. Wozu man das jedoch bei der Aufgabe braucht weiss ich nicht... Vielleicht wenn man nicht auf die JNF zurueckgreifen will.
LG Felix
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