Endomorph. diagonalisierbar? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V endlich dimensionaler Vektorraum, [mm] \Phi \in [/mm] Endo(V) mit [mm] ker(\Phi) \cap im(\Phi) \not= [/mm] 0.
Zeigen Sie, dass [mm] \Phi [/mm] nicht diagonalisierbar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, ich habe mir überlegt, da der Kern nicht leer ist, gibt es einen Vektor v [mm] \in ker(\Phi) [/mm] und [mm] \Phi(v) [/mm] = 0 = 0*v [mm] \Rightarrow [/mm] v Eigenvektor zum Eigenwert 0.
In der Aufgabe ist kein Körper gegeben, also können die fraglichen Eigenwerte ja nur +/-1 oder 0 sein.
Idee:
[mm] dim(Eig(\Phi, [/mm] 0)) = 1, Vielfachheit von Eigenwert 0 >= 2
vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> V endlich dimensionaler Vektorraum, [mm]\Phi \in[/mm] Endo(V) mit
> [mm]ker(\Phi) \cap im(\Phi) \not=[/mm] 0.
> Zeigen Sie, dass [mm]\Phi[/mm] nicht diagonalisierbar.
>
> Also, ich habe mir überlegt, da der Kern nicht leer ist,
> gibt es einen Vektor v [mm]\in ker(\Phi)[/mm] und [mm]\Phi(v)[/mm] = 0 = 0*v
> [mm]\Rightarrow[/mm] v Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Soweit so gut.
> In der Aufgabe ist kein Körper gegeben, also können die
> fraglichen Eigenwerte ja nur +/-1 oder 0 sein.
Wie kommst du dadrauf? Das stimmt definitiv nicht.
> Idee:
> [mm]dim(Eig(\Phi,[/mm] 0)) = 1, Vielfachheit von Eigenwert 0 >= 2
Wieso sollte das so sein?
Versuch es doch mal andersherum: zeige, dass fuer einen diagonalisierbaren Endomorphismus [mm] $\Phi$ [/mm] gilt [mm] $\ker \Phi \cap im(\Phi) [/mm] = 0$. Dazu: was weisst du ueber diagonalisierbare Endomorphismen? Bzw. was heisst diagonalisierbar ueberhaupt?
LG Felix
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Danke für die Schnelle Hilfe, ich hätte da eine Idee...
n := [mm] \dim(V)
[/mm]
[mm] \Phi [/mm] diagonalisierbar [mm] \Rightarrow \Phi [/mm] invertierbar.
also Zz: [mm] \Phi [/mm] nicht invertierbar.
[mm] Rg(\Phi) [/mm] = [mm] \dim(im(\Phi)) [/mm] = [mm] \dim(V) [/mm] - [mm] \dim(\ker(\Phi)) [/mm]
[mm] \le [/mm] n, da [mm] \ker(\Phi) [/mm] nicht nur den Nullvektor enthält.
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht voller Rang, also nicht invertierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke für die Schnelle Hilfe, ich hätte da eine Idee...
> n := [mm]\dim(V)[/mm]
> [mm]\Phi[/mm] diagonalisierbar [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] invertierbar.
Wieso sollte das gelten? Der Nullendomorphismus (der alles auf 0 abbildet) ist immer diagonalisierbar, und nur dann invertierbar wenn [mm] $\dim [/mm] V = 0$ ist.
LG Felix
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hm Diagonalisierung ist äquivalent zu:
- Ex. Basis aus EV
- das Char. Polynom zerfällt und die Vielfachheit der Nullstellen = dim Eigenraum
- V = direkte Summe der Eigenräume
Wir kennen nur [mm] Eig(\Phi, [/mm] 0) und es Ex. v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \in Eig(\Phi, [/mm] 0) und v [mm] \in im(\Phi)
[/mm]
kann man zeigen, dass v auch noch in einem anderen Eigenraum liegen muss (dann wäre die Summe nicht direkt), habe ich wenigstens das richtige Kriterium am Wickel :) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> hm Diagonalisierung ist äquivalent zu:
> - Ex. Basis aus EV
> - das Char. Polynom zerfällt und die Vielfachheit der
> Nullstellen = dim Eigenraum
> - V = direkte Summe der Eigenräume
Genau.
Wie sieht der Endomorphismus in Matrixschreibweise aus wenn du ihn bzgl. einer Basis von Eigenvektoren hinschreibst? Und was kannst du dann ueber Bild und Kern sagen?
> Wir kennen nur [mm]Eig(\Phi,[/mm] 0) und es Ex. v [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\in Eig(\Phi,[/mm]
> 0) und v [mm]\in im(\Phi)[/mm]
> kann man zeigen, dass v auch noch in
> einem anderen Eigenraum liegen muss (dann wäre die Summe
> nicht direkt), habe ich wenigstens das richtige Kriterium
> am Wickel :) ?
Nun, die Summe ist immer direkt. Sie ist nur nicht umbedingt der ganze Vektorraum $V$ (der ist sie nur wenn der Endomorphismus diagonalisierbar ist). So kommst du also nicht weiter.
LG Felix
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hm, bzgl der Basis aus Eigenvektoren ist die Matrix diagonal.
Das Bild wird dann durch die Spaltenvektoren aufgespannt.
der Kern ist die Lösung des homogenen Gleichungssystems A(diag) * v = 0.
also aii * vi = 0 aii Eigenwerte.
v ist auch im Bild (im Gegensatz zu mir ;)
edit:
die Matrix sieht nat. so aus (n x n natürlich).
[mm] \pmat{ \lambda1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda3}
[/mm]
damit v [mm] =\vektor{v1 \\ v2 \\ v3} [/mm] im Kern liegt, muss gelten, [mm] \lambda_{i}*v_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i
damit v im Bild liegt muss gelten [mm] v_{i} [/mm] = [mm] \mu_{i}*\lambda_{i}
[/mm]
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> hm, bzgl der Basis aus Eigenvektoren ist die Matrix
> diagonal.
> Das Bild wird dann durch die Spaltenvektoren aufgespannt.
> der Kern ist die Lösung des homogenen Gleichungssystems
> A(diag) * v = 0.
> also aii * vi = 0 aii Eigenwerte.
> v ist auch im Bild (im Gegensatz zu mir ;)
Hallo,
nee, es ist auch durchaus nicht jedes v im Bild, oder was meinst Du jetzt?
Du solltest als erstes mal das Hantieren mit den Komponenten der Vektoren lassen, es ist nicht nützlich. Nützlich hingegen ist die Wahl einer passenden Basis.
> edit:
> die Matrix sieht nat. so aus (n x n natürlich).
> [mm]\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3}[/mm]
Wenn ein Endomorphismus [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] bzgl. welcher seine darstellende Matrix eine Diagonalmatrix ist.
Was bedeutet diese Diagonalmatrix, wenn man sie in Funktionswerte "übersetzt":
nehmen wir einfach mal den Fall n=3. Wenn der Endomorphismus [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis [mm] (b_1,b_2, b_3) [/mm] bzgl derer die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat wie oben.
Es gibt dann also [mm] \lambda_i [/mm] mit
[mm] \phi(b_i)=\lambda_ib_i. [/mm]
Es handelt sich also um eine Basis aus Eigenvektoren.
Ich hoffe, Du siehst den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten der Abbildung und der darstellenden Matrix.
Überlege Dir als nächstes, daß, sofern der Kern der Abbildung nicht nur aus dem Nullvektor besteht, mindestens einer der Eigenwerte =0 ist, die Anzahl hängt von der Dimension des Kerns ab.
So, wir gehen wieder zum Fall n=3. mal angenommen, der Kern hat die Dimension 1.
Dann hat die darstellende Matrix bzgl. B die Gestalt [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3}.
[/mm]
Jetzt nimm an, daß [mm] b_1 [/mm] auch im Bild ist und führe dies zum Widerspruch.
Wenn Dir das gelingt, bist Du ein wenig besser im Bilde als zuvor und kannst Dich vielleicht schon über den allgemeinen Fall hermachen..
Gruß v. Angela
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vielen Dank für die Hilfe!
also ich betrachte die Darstellungsmatrix [mm] \Phi [/mm] bzgl. geeigneten Basis [mm] \Rightarrow \Phi [/mm] diagonal.
[mm] \Rightarrow [/mm] die Diagonaleinträge [mm] (\lambda_{i}, [/mm] i = 1..n) sind Eigenwerte.
aus [mm] ker(\Phi) \not= [/mm] 0 folgt [mm] \exists [/mm] ein Eigenwert 0.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] i mit [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0.
betrachte Vektor b = [mm] \vektor{b_{1} \\ .. \\ b_{n}}.
[/mm]
wenn b [mm] \in ker(\Phi) \Rightarrow b_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i mit [mm] \lambda_{i} \not= [/mm] 0, wenn sogar für [mm] \forall [/mm] i gilt [mm] b_{i} [/mm] = 0 ist b der Nullvektor und auch im Bild.
ansonsten [mm] \exists [/mm] i mit [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0, [mm] b_{i} \not= [/mm] 0.
dann ist also [mm] b_{i} \not= \mu*\lambda_{i} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] also b nicht darstellbar als Linearkombination aus Basisvektoren, also nicht im Bild.
wenn also ein Vektor b [mm] \not= [/mm] 0 im Kern liegt, hat er eine Koordinate [mm] \not [/mm] = 0 in genau der Zeile wo die Matrix den Eigenwert 0 stehen hat. Diese Zeile ist aber insgesammt eine Nullzeile, Weil die Matrix ja diagonal ist. Die Spaltenvektoren spannen aber ja das Bild auf, also ist diese Koordinate bei allen Bildvektoren 0, also b nicht aus dem Bild.
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Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du es jetzt im Wesentlichen durchschaut hast, aber Dein Aufschrieb ist grauenhaft und teilweise unverständlich.
Zunächst einmal ist es für Dich und andere hilfreich, wenn Du notierst, was Du zeigen möchtest.
Hier ist das wohl: [mm] \phi:V\to [/mm] V diagonalisierbar ==> [mm] kern\phi\cap Bild\phi=\{0\}.
[/mm]
Danach kann es losgehen.
Beweis:
Sei [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar. Dann gibt es [hier muß jetzt etwas über diese Basis kommen]
> also ich betrachte die Darstellungsmatrix [mm]\Phi[/mm] bzgl.
> geeigneten Basis [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] diagonal.
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Diagonaleinträge [mm](\lambda_{i},[/mm] i = 1..n)
> sind Eigenwerte.
> aus [mm]ker(\Phi) \not=[/mm] 0 folgt [mm]\exists[/mm] ein Eigenwert 0.
Ich finde es überhaupt nicht hilfreich zum Verständnis, wenn z.B. [mm] "\exists" [/mm] in laufenden Text eingebaut wird. Das verdeutlicht nichts und spart kaum Anschläge.
Man kann doch hier einen verständlichen Satz schreiben, z.B. so.
Wenn [mm]ker(\Phi) \not=[/mm] 0 , dann gibt es einen Vektor [mm] 0\not=v\in [/mm] V mit [mm] \phi(v)=0=0*v. [/mm] Also ist 0 ein Eigenwert von [mm] \phi.
[/mm]
usw. Ich will jetzt nicht das ganze Post entsprechend bearbeiten. Du sollst das ja auch durchaus in Deinem Stil machen, bloß mach es so, daß Du keine verschleiernden Elemente einbaust.
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] i mit [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0.
> betrachte Vektor b = [mm]\vektor{b_{1} \\ .. \\ b_{n}}.[/mm]
Hier mußt Du unbedingt erwähnen, daß dies ein Koordinatenvektor bzgl der Basis aus Eigenwerten sein soll. Sonst wird das ganze komplett unverständlich.
Nun willst Du zeigen, daß b nur gleichzeitig in Kern und Bild liegen kann, wenn es der Nullvektor ist.
> wenn
> b [mm]\in ker(\Phi) \Rightarrow b_{i}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] i mit
> [mm]\lambda_{i} \not=[/mm] 0,
Das muß natürlich vorgerechnet/begündet werden.
(>wenn sogar für [mm]\forall[/mm] i gilt [mm]b_{i}[/mm] =
> 0 ist b der Nullvektor und auch im Bild.)
Das kannst Du weglassen.
Wenn b nicht der Nullvektor ist
> ansonsten [mm]\exists[/mm] i mit [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0, [mm]b_{i} \not=[/mm] 0.
> dann ist also [mm]b_{i} \not= \mu*\lambda_{i}[/mm] = 0
Das ist mir völlig unverständlich. was soll das für ein [mm] \mu [/mm] sein?
> [mm]\Rightarrow[/mm] also b nicht darstellbar als Linearkombination
> aus Basisvektoren, also nicht im Bild.
??? jeder Vektor ist darstellbar als Linearkombination der Basisvektoren.
>
Du wirst den Beweis also noch ein bißchen bearbeiten müssen.
Ein Tip: Du kannst die Basisvektoren ja so wählen, daß die ersten k EVen zum Eigenwert 0 sind, und die dann folgenden n-k Eigenvektoren zu den von 0 verschiedenen Eigenwerten.
Dann kannst Du nämlich, wenn Du wirklich mit Spaltenvektoren arbeiten willst, alles, was Du zu sagen hast, auch schön übersichtlich schreiben, z.B.
" also ist [mm] b=\vektor{b_1\\\vdots\\b_k\\0\\\vdots\\0}".
[/mm]
Gruß v. Angela
> wenn also ein Vektor b [mm]\not=[/mm] 0 im Kern liegt, hat er eine
> Koordinate [mm]\not[/mm] = 0 in genau der Zeile wo die Matrix den
> Eigenwert 0 stehen hat. Diese Zeile ist aber insgesammt
> eine Nullzeile, Weil die Matrix ja diagonal ist. Die
> Spaltenvektoren spannen aber ja das Bild auf, also ist
> diese Koordinate bei allen Bildvektoren 0, also b nicht aus
> dem Bild.
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