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| Aufgabe | | Es sei [mm] f:V \rightarrow V[/mm] ein Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraums V. Nehmen sie an, dass es einen Vektor [mm] v \in V [/mm] gibt für den V von der Menge [mm]\{v, f(v) f^2(v), f^3(v)....\} [/mm] erzeugt wird. Weiterhin gelte [mm]f^n(v)=v [/mm]. Zeigen Sie: [mm]det f = (-1)^n-1, Spur f=0 [/mm] |
Guten Tag erstmal,
ich sitze mal wieder vor einem Übungszettel, lese ihn, und weiß nicht was ich damit machen soll. Kann mir vielleicht jemand mal eine Übersetzung der Aufgabe geben, wie ich an so eine Sache rangehen muß, und was ich machen soll.
Hier weiß ich leider gar nicht was von mir verlangt wird. Wieso gibt es immer so viele unterschiedlich Aussagen für ein das selbe. Und wieso hat jeder Prof eine andere Sprechweise?
Es wäre echt super von euch wenn ich da ein bisschen weiterkomme. Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Gruß Lucky
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Hi,
> Es sei [mm]f:V \rightarrow V[/mm] ein Endomorphismus eines
> n-dimensionalen Vektorraums V. Nehmen sie an, dass es einen
> Vektor [mm]v \in V[/mm] gibt für den V von der Menge [mm]\{v, f(v) f^2(v), f^3(v)....\}[/mm]
> erzeugt wird. Weiterhin gelte [mm]f^n(v)=v [/mm]. Zeigen Sie: [mm]det f = (-1)^n-1, Spur f=0[/mm]
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> Guten Tag erstmal,
> ich sitze mal wieder vor einem Übungszettel, lese ihn, und
> weiß nicht was ich damit machen soll. Kann mir vielleicht
> jemand mal eine Übersetzung der Aufgabe geben, wie ich an
> so eine Sache rangehen muß, und was ich machen soll.
> Hier weiß ich leider gar nicht was von mir verlangt wird.
> Wieso gibt es immer so viele unterschiedlich Aussagen für
> ein das selbe. Und wieso hat jeder Prof eine andere
> Sprechweise?
> Es wäre echt super von euch wenn ich da ein bisschen
> weiterkomme. Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
> Gruß Lucky
nimms mir nicht uebel, aber ich verstehe nicht so genau, worueber du dich beschwerst...  die terminologie, die benutzt wird, ist standard und ich habe kein problem, sie zu verstehen. Das problem ist eher, dass die sprache der mathematik an der hochschule anfaengern (allen!) grosse probleme bereitet und lange geuebt werden muss. deshalb sind die aufgaben auch so wichtig.
nun zur aufgabe: [mm] $f:V\to [/mm] V$ ist Endo., also eine lineare selbstabbildung. weiter wird $V$ von [mm] $\{v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v)\}$ [/mm] erzeugt, diese menge ist also eine basis. weiter ist [mm] $f^n(v)=v$. [/mm] su sollst nun bestimmte eigenschaften des endos. zeigen.
Mein Tip: verwende die voraussetzungen! du hast eine sehr besondere basis gegeben. es ist nun natuerlich die abbildungsmatrix fuer $f$ bezueglich der gegebenen basis aufzustellen. Diese wird vermutlich eine sehr einfache form haben!
das schoene ist dann, dass die spur und die determinante eines endos. invariant unter basiswechsel sind. du kannst sie also an der abbildungsmatrix bezueglich einer bestimmten basis ablesen und weisst dann, dass sie fuer alle basen gelten.
und fuer die matrix oben wird es sehr leicht sein, spur und det auszurechnen.
gruss
matthias
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