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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 17.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und [mm] f:V\toV [/mm] ein Endomorphismus von V. Es gilt V [mm] \supseteq [/mm] Bild(f) [mm] \supseteq Bild(f^2) \supseteq ...\supseteq Bild(f^k)\supseteq [/mm] ...
Es gibt ein kleinstes [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] Bild(f^n)=Bild(f^{n+1}). [/mm]
Zeige: für alle [mm] i\in \IN, [/mm] i>=1 gilt: [mm] Bild(f^n)=Bild(f^{n+i}) [/mm] |
Hallo,
um zu zeigen, dass [mm] Bild(f^n)=Bild(f^{n+i}) [/mm] gilt, wollte ich vollständige Induktion machen. Im Induktionsschritt muss ich eigentlich nur [mm] Bild(f^n)\subseteq Bild(f^{n+i}) [/mm] zeigen, denn die andere Richtung gilt nach Voraussetzung.
Ind.-Voraussetzung: [mm] Bild(f^n)=Bild(f^{n+i}) [/mm] gilt für ein festes n
Ind.-Schritt: [mm] Bild(f^n)=Bild(f^{n+1})=f^{n+1}(V)=f^n(f(V))=f^{n+i}(f(V))=f^{n+i+1}(V)=Bild(f^{n+i+1})
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich [mm] f^n(f(V))=f^{n+i}(f(V)) [/mm] begründen kann. Nach Ind.-Vor gilt [mm] Bild(f^n)=Bild(f^{n+1}). [/mm] Gilt dies dann auch für Teilmengen, da f(V) Untervektorraum von V ist?
Katrin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mi 18.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
mach es doch anders herum
[mm] $f^{n+1}(V)=f(f(^n(V))$
[/mm]
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So mit mehr Zeit etwas ausführlicher...
> Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und [mm]f:V\toV[/mm]
> ein Endomorphismus von V. Es gilt V [mm]\supseteq[/mm] Bild(f)
> [mm]\supseteq Bild(f^2) \supseteq ...\supseteq Bild(f^k)\supseteq[/mm]
> ...
> Es gibt ein kleinstes [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]Bild(f^n)=Bild(f^{n+1}).[/mm]
> Zeige: für alle [mm]i\in \IN,[/mm] i>=1 gilt:
> [mm]Bild(f^n)=Bild(f^{n+i})[/mm]
> Hallo,
> um zu zeigen, dass [mm]Bild(f^n)=Bild(f^{n+i})[/mm] gilt, wollte ich
> vollständige Induktion machen. Im Induktionsschritt muss
> ich eigentlich nur [mm]Bild(f^n)\subseteq Bild(f^{n+i})[/mm] zeigen,
> denn die andere Richtung gilt nach Voraussetzung.
> Ind.-Voraussetzung: [mm]Bild(f^n)=Bild(f^{n+i})[/mm] gilt für ein
> festes n
> Ind.-Schritt:
> [mm]Bild(f^n)=Bild(f^{n+1})=f^{n+1}(V)=f^n(f(V))=f^{n+i}(f(V))=f^{n+i+1}(V)=Bild(f^{n+i+1})[/mm]
> Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich
> [mm]f^n(f(V))=f^{n+i}(f(V))[/mm] begründen kann. Nach Ind.-Vor gilt
siehe unten
> [mm]Bild(f^n)=Bild(f^{n+1}).[/mm] Gilt dies dann auch für
> Teilmengen, da f(V) Untervektorraum von V ist?
> Katrin
Ich glaube man muss mit Induktion nicht darauf schießen.
Du hast einen Vektorraum V mit Dimension n. Dann ist
[mm]V=img(f^0)\supseteq img(f^1)\supseteq img(f^2)\supseteq \ldots[/mm]
1. Überlegung
Warum endet diese Kette irgendwann? (Bekommst du raus, wenn du über die endliche Dimension argumentierst)
Das gehört zum Beweis!
2. Überlegung
nach 1. Überlegung [mm]\exists k\in \IN\; : \; img(f^k)=img(f^{k+1})[/mm] Dann ist aber
[mm]img(f^{k+1})=f\blue{(f^k(V)})\overbrace{=}^{\textrm{Vorraussetzung}}f(\blue{f^{k+1}(V)})=f^{k+2}(V)=img(f^{k+2})[/mm]
Rest folg analog.
Das kannst du dann in eine Induktion schreiben, obwohl ich glaube ich klar sein sollte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 18.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe!
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